Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34424 / 9848
↖ ↑ ↗
← N 82.073059°
W 85.451660°		 ← 42.12 m → N 82.073059°
W 85.448913°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.072680°
W 85.451660°		 ← 42.12 m →
1 774 m²		 N 82.072680°
W 85.448913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262638092041016 y=0.0751380920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262638092041016 × 217)
    floor (0.262638092041016 × 131072)
    floor (34424.5)     		tx = 34424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0751380920410156 × 217)
    floor (0.0751380920410156 × 131072)
    floor (9848.5)     		ty = 9848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34424 / 9848 ti = "17/34424/9848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34424/9848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34424 ÷ 217
    34424 ÷ 131072     		x = 0.26263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9848 ÷ 217
    9848 ÷ 131072     		y = 0.07513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.4747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.49141282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07513427734375 × 2 - 1) × π
    0.8497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66951006604169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49141282} λ = -1.49141282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66951006604169))-π/2
    2×atan(14.4328962943064)-π/2
    2×1.5016207169785-π/2
    3.003241433957-1.57079632675     		φ = 1.43244511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49141282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.451660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43244511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.073059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34424 KachelY 9848 -1.49141282 1.43244511 -85.451660 82.073059
    Oben rechts KachelX + 1 34425 KachelY 9848 -1.49136488 1.43244511 -85.448913 82.073059
    Unten links KachelX 34424 KachelY + 1 9849 -1.49141282 1.43243850 -85.451660 82.072680
    Unten rechts KachelX + 1 34425 KachelY + 1 9849 -1.49136488 1.43243850 -85.448913 82.072680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43244511-1.43243850) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43244511-1.43243850) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49141282--1.49136488) × cos(1.43244511) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.137910274207017 × 6371000     		do = 42.1213475534485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49141282--1.49136488) × cos(1.43243850) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.137916821043646 × 6371000     		du = 42.1233471258707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43244511)-sin(1.43243850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137910274207017-0.137916821043646)×R²
    abs(-1.49136488--1.49141282)×6.54683662940081e-06×R²
    4.79400000001906e-05×6.54683662940081e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×6.54683662940081e-06×40589641000000     		ar = 1773.86934922395m²