Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34424 / 32410
↖ ↑ ↗
← N  1.966167°
E  9.096680°		 ← 610.49 m → N  1.966167°
E  9.102173°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  1.960677°
E  9.096680°		 ← 610.49 m →
372 648 m²		 N  1.960677°
E  9.102173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525276184082031 y=0.494544982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525276184082031 × 216)
    floor (0.525276184082031 × 65536)
    floor (34424.5)     		tx = 34424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494544982910156 × 216)
    floor (0.494544982910156 × 65536)
    floor (32410.5)     		ty = 32410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34424 / 32410 ti = "16/34424/32410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34424/32410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34424 ÷ 216
    34424 ÷ 65536     		x = 0.5252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32410 ÷ 216
    32410 ÷ 65536     		y = 0.494537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494537353515625 × 2 - 1) × π
    0.01092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15876701} λ = 0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0343228201279602))-π/2
    2×atan(1.03491864537755)-π/2
    2×0.802556204936496-π/2
    1.60511240987299-1.57079632675     		φ = 0.03431608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03431608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.966167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34424 KachelY 32410 0.15876701 0.03431608 9.096680 1.966167
    Oben rechts KachelX + 1 34425 KachelY 32410 0.15886289 0.03431608 9.102173 1.966167
    Unten links KachelX 34424 KachelY + 1 32411 0.15876701 0.03422027 9.096680 1.960677
    Unten rechts KachelX + 1 34425 KachelY + 1 32411 0.15886289 0.03422027 9.102173 1.960677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03431608-0.03422027) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03431608-0.03422027) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15876701-0.15886289) × cos(0.03431608) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999411261104703 × 6371000     		do = 610.491847974604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15876701-0.15886289) × cos(0.03422027) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999414543695998 × 6371000     		du = 610.493853150355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03431608)-sin(0.03422027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999411261104703-0.999414543695998)×R²
    abs(0.15886289-0.15876701)×3.28259129533937e-06×R²
    9.58800000000204e-05×3.28259129533937e-06×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.28259129533937e-06×40589641000000     		ar = 372648.200084005m²