Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34423 / 32411
↖ ↑ ↗
← N  1.960677°
E  9.091187°		 ← 610.43 m → N  1.960677°
E  9.096680°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
N  1.955187°
E  9.091187°		 ← 610.43 m →
372 649 m²		 N  1.955187°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525260925292969 y=0.494560241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525260925292969 × 216)
    floor (0.525260925292969 × 65536)
    floor (34423.5)     		tx = 34423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494560241699219 × 216)
    floor (0.494560241699219 × 65536)
    floor (32411.5)     		ty = 32411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34423 / 32411 ti = "16/34423/32411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34423/32411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34423 ÷ 216
    34423 ÷ 65536     		x = 0.525253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32411 ÷ 216
    32411 ÷ 65536     		y = 0.494552612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494552612304688 × 2 - 1) × π
    0.010894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0342269463287201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15867114} λ = 0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0342269463287201))-π/2
    2×atan(1.03481942855133)-π/2
    2×0.802508296180477-π/2
    1.60501659236095-1.57079632675     		φ = 0.03422027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03422027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.960677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34423 KachelY 32411 0.15867114 0.03422027 9.091187 1.960677
    Oben rechts KachelX + 1 34424 KachelY 32411 0.15876701 0.03422027 9.096680 1.960677
    Unten links KachelX 34423 KachelY + 1 32412 0.15867114 0.03412445 9.091187 1.955187
    Unten rechts KachelX + 1 34424 KachelY + 1 32412 0.15876701 0.03412445 9.096680 1.955187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03422027-0.03412445) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03422027-0.03412445) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15867114-0.15876701) × cos(0.03422027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999414543695998 × 6371000     		do = 610.430180449633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15867114-0.15876701) × cos(0.03412445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99941781745429 × 6371000     		du = 610.432180021159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03422027)-sin(0.03412445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999414543695998-0.99941781745429)×R²
    abs(0.15876701-0.15867114)×3.27375829178855e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.27375829178855e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27375829178855e-06×40589641000000     		ar = 372649.446747087m²