Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34423 / 22108
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
E  9.091187°		 ← 389.20 m → N 50.415519°
E  9.096680°		 →
↑
389.27 m
↓
↑
389.27 m
↓
N 50.412018°
E  9.091187°		 ← 389.23 m →
151 510 m²		 N 50.412018°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525260925292969 y=0.337348937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525260925292969 × 216)
    floor (0.525260925292969 × 65536)
    floor (34423.5)     		tx = 34423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337348937988281 × 216)
    floor (0.337348937988281 × 65536)
    floor (22108.5)     		ty = 22108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34423 / 22108 ti = "16/34423/22108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34423/22108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34423 ÷ 216
    34423 ÷ 65536     		x = 0.525253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22108 ÷ 216
    22108 ÷ 65536     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15867114} λ = 0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34423 KachelY 22108 0.15867114 0.87991680 9.091187 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 34424 KachelY 22108 0.15876701 0.87991680 9.096680 50.415519
    Unten links KachelX 34423 KachelY + 1 22109 0.15867114 0.87985570 9.091187 50.412018
    Unten rechts KachelX + 1 34424 KachelY + 1 22109 0.15876701 0.87985570 9.096680 50.412018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87985570) × R
    6.11000000000361e-05 × 6371000     		dl = 389.26810000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87985570) × R
    6.11000000000361e-05 × 6371000     		dr = 389.26810000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15867114-0.15876701) × cos(0.87991680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 389.203292226709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15867114-0.15876701) × cos(0.87985570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637262355184883 × 6371000     		du = 389.232052828314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87985570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637262355184883)×R²
    abs(0.15876701-0.15867114)×4.70877169087558e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70877169087558e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70877169087558e-05×40589641000000     		ar = 151510.023918554m²