Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34420 / 32460
↖ ↑ ↗
← N  1.691649°
E  9.074707°		 ← 610.52 m → N  1.691649°
E  9.080200°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
N  1.686158°
E  9.074707°		 ← 610.52 m →
372 744 m²		 N  1.686158°
E  9.080200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525215148925781 y=0.495307922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525215148925781 × 216)
    floor (0.525215148925781 × 65536)
    floor (34420.5)     		tx = 34420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495307922363281 × 216)
    floor (0.495307922363281 × 65536)
    floor (32460.5)     		ty = 32460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34420 / 32460 ti = "16/34420/32460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34420/32460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34420 ÷ 216
    34420 ÷ 65536     		x = 0.52520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32460 ÷ 216
    32460 ÷ 65536     		y = 0.49530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52520751953125 × 2 - 1) × π
    0.0504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15838352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    0.0093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15838352} λ = 0.15838352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0295291301659546))-π/2
    2×atan(1.02996943821556)-π/2
    2×0.80016058323958-π/2
    1.60032116647916-1.57079632675     		φ = 0.02952484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15838352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02952484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.691649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34420 KachelY 32460 0.15838352 0.02952484 9.074707 1.691649
    Oben rechts KachelX + 1 34421 KachelY 32460 0.15847939 0.02952484 9.080200 1.691649
    Unten links KachelX 34420 KachelY + 1 32461 0.15838352 0.02942901 9.074707 1.686158
    Unten rechts KachelX + 1 34421 KachelY + 1 32461 0.15847939 0.02942901 9.080200 1.686158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02952484-0.02942901) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02952484-0.02942901) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15838352-0.15847939) × cos(0.02952484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999564173572613 × 6371000     		do = 610.521572548296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15838352-0.15847939) × cos(0.02942901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999566997937283 × 6371000     		du = 610.523297635694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02952484)-sin(0.02942901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999564173572613-0.999566997937283)×R²
    abs(0.15847939-0.15838352)×2.82436467025082e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.82436467025082e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82436467025082e-06×40589641000000     		ar = 372744.051412712m²