Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34420 / 22414
↖ ↑ ↗
← N 49.332282°
E  9.074707°		 ← 398.03 m → N 49.332282°
E  9.080200°		 →
↑
398.06 m
↓
↑
398.06 m
↓
N 49.328702°
E  9.074707°		 ← 398.06 m →
158 447 m²		 N 49.328702°
E  9.080200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525215148925781 y=0.342018127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525215148925781 × 216)
    floor (0.525215148925781 × 65536)
    floor (34420.5)     		tx = 34420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342018127441406 × 216)
    floor (0.342018127441406 × 65536)
    floor (22414.5)     		ty = 22414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34420 / 22414 ti = "16/34420/22414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34420/22414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34420 ÷ 216
    34420 ÷ 65536     		x = 0.52520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22414 ÷ 216
    22414 ÷ 65536     		y = 0.342010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52520751953125 × 2 - 1) × π
    0.0504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15838352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342010498046875 × 2 - 1) × π
    0.31597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.992677317332123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15838352} λ = 0.15838352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992677317332123))-π/2
    2×atan(2.69844941508276)-π/2
    2×1.21590353746618-π/2
    2.43180707493236-1.57079632675     		φ = 0.86101075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15838352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86101075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.332282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34420 KachelY 22414 0.15838352 0.86101075 9.074707 49.332282
    Oben rechts KachelX + 1 34421 KachelY 22414 0.15847939 0.86101075 9.080200 49.332282
    Unten links KachelX 34420 KachelY + 1 22415 0.15838352 0.86094827 9.074707 49.328702
    Unten rechts KachelX + 1 34421 KachelY + 1 22415 0.15847939 0.86094827 9.080200 49.328702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86101075-0.86094827) × R
    6.24800000000869e-05 × 6371000     		dl = 398.060080000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86101075-0.86094827) × R
    6.24800000000869e-05 × 6371000     		dr = 398.060080000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15838352-0.15847939) × cos(0.86101075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651671145653923 × 6371000     		do = 398.032765827296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15838352-0.15847939) × cos(0.86094827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651718535563556 × 6371000     		du = 398.061711004521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86101075)-sin(0.86094827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651671145653923-0.651718535563556)×R²
    abs(0.15847939-0.15838352)×4.73899096335995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73899096335995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73899096335995e-05×40589641000000     		ar = 158446.715619482m²