Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34418 / 48402
↖ ↑ ↗
← S 64.816233°
E  9.063721°		 ← 259.90 m → S 64.816233°
E  9.069214°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 64.818570°
E  9.063721°		 ← 259.88 m →
67 539 m²		 S 64.818570°
E  9.069214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525184631347656 y=0.738563537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525184631347656 × 216)
    floor (0.525184631347656 × 65536)
    floor (34418.5)     		tx = 34418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738563537597656 × 216)
    floor (0.738563537597656 × 65536)
    floor (48402.5)     		ty = 48402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34418 / 48402 ti = "16/34418/48402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34418/48402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34418 ÷ 216
    34418 ÷ 65536     		x = 0.525177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48402 ÷ 216
    48402 ÷ 65536     		y = 0.738555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525177001953125 × 2 - 1) × π
    0.05035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15819177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.47711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49889097731992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15819177} λ = 0.15819177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49889097731992))-π/2
    2×atan(0.22337775382477)-π/2
    2×0.219769829686716-π/2
    0.439539659373432-1.57079632675     		φ = -1.13125667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15819177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13125667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.816233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34418 KachelY 48402 0.15819177 -1.13125667 9.063721 -64.816233
    Oben rechts KachelX + 1 34419 KachelY 48402 0.15828764 -1.13125667 9.069214 -64.816233
    Unten links KachelX 34418 KachelY + 1 48403 0.15819177 -1.13129746 9.063721 -64.818570
    Unten rechts KachelX + 1 34419 KachelY + 1 48403 0.15828764 -1.13129746 9.069214 -64.818570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13125667--1.13129746) × R
    4.07900000001238e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13125667--1.13129746) × R
    4.07900000001238e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15819177-0.15828764) × cos(-1.13125667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425522923668576 × 6371000     		do = 259.904197631404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15819177-0.15828764) × cos(-1.13129746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425486010500121 × 6371000     		du = 259.88165151956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13125667)-sin(-1.13129746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425522923668576-0.425486010500121)×R²
    abs(0.15828764-0.15819177)×3.6913168455055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6913168455055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6913168455055e-05×40589641000000     		ar = 67539.1773883722m²