Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34414 / 36381
↖ ↑ ↗
← S 19.461413°
E  9.041748°		 ← 575.95 m → S 19.461413°
E  9.047241°		 →
↑
575.94 m
↓
↑
575.94 m
↓
S 19.466592°
E  9.041748°		 ← 575.93 m →
331 707 m²		 S 19.466592°
E  9.047241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525123596191406 y=0.555137634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525123596191406 × 216)
    floor (0.525123596191406 × 65536)
    floor (34414.5)     		tx = 34414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555137634277344 × 216)
    floor (0.555137634277344 × 65536)
    floor (36381.5)     		ty = 36381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34414 / 36381 ti = "16/34414/36381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34414/36381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34414 ÷ 216
    34414 ÷ 65536     		x = 0.525115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36381 ÷ 216
    36381 ÷ 65536     		y = 0.555130004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525115966796875 × 2 - 1) × π
    0.05023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15780827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555130004882812 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.346392036654526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15780827} λ = 0.15780827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346392036654526))-π/2
    2×atan(0.707235170640683)-π/2
    2×0.615565296459541-π/2
    1.23113059291908-1.57079632675     		φ = -0.33966573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15780827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33966573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.461413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34414 KachelY 36381 0.15780827 -0.33966573 9.041748 -19.461413
    Oben rechts KachelX + 1 34415 KachelY 36381 0.15790415 -0.33966573 9.047241 -19.461413
    Unten links KachelX 34414 KachelY + 1 36382 0.15780827 -0.33975613 9.041748 -19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 34415 KachelY + 1 36382 0.15790415 -0.33975613 9.047241 -19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33966573--0.33975613) × R
    9.03999999999905e-05 × 6371000     		dl = 575.938399999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33966573--0.33975613) × R
    9.03999999999905e-05 × 6371000     		dr = 575.938399999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15780827-0.15790415) × cos(-0.33966573) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942866087586539 × 6371000     		do = 575.951145044003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15780827-0.15790415) × cos(-0.33975613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 575.932744611738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33966573)-sin(-0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942866087586539-0.942835964990676)×R²
    abs(0.15790415-0.15780827)×3.01225958631024e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.01225958631024e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.01225958631024e-05×40589641000000     		ar = 331707.08242294m²