Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34413 / 36380
↖ ↑ ↗
← S 19.456234°
E  9.036255°		 ← 575.91 m → S 19.456234°
E  9.041748°		 →
↑
575.87 m
↓
↑
575.87 m
↓
S 19.461413°
E  9.036255°		 ← 575.89 m →
331 646 m²		 S 19.461413°
E  9.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525108337402344 y=0.555122375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525108337402344 × 216)
    floor (0.525108337402344 × 65536)
    floor (34413.5)     		tx = 34413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555122375488281 × 216)
    floor (0.555122375488281 × 65536)
    floor (36380.5)     		ty = 36380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34413 / 36380 ti = "16/34413/36380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34413/36380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34413 ÷ 216
    34413 ÷ 65536     		x = 0.525100708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36380 ÷ 216
    36380 ÷ 65536     		y = 0.55511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525100708007812 × 2 - 1) × π
    0.050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15771240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.346296162855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15771240} λ = 0.15771240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346296162855286))-π/2
    2×atan(0.707302979213929)-π/2
    2×0.615610495258289-π/2
    1.23122099051658-1.57079632675     		φ = -0.33957534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15771240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33957534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.456234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34413 KachelY 36380 0.15771240 -0.33957534 9.036255 -19.456234
    Oben rechts KachelX + 1 34414 KachelY 36380 0.15780827 -0.33957534 9.041748 -19.456234
    Unten links KachelX 34413 KachelY + 1 36381 0.15771240 -0.33966573 9.036255 -19.461413
    Unten rechts KachelX + 1 34414 KachelY + 1 36381 0.15780827 -0.33966573 9.041748 -19.461413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33957534--0.33966573) × R
    9.03899999999958e-05 × 6371000     		dl = 575.874689999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33957534--0.33966573) × R
    9.03899999999958e-05 × 6371000     		dr = 575.874689999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15771240-0.15780827) × cos(-0.33957534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942896199146282 × 6371000     		do = 575.909466818021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15771240-0.15780827) × cos(-0.33966573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942866087586539 × 6371000     		du = 575.891075045594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33957534)-sin(-0.33966573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942896199146282-0.942866087586539)×R²
    abs(0.15780827-0.15771240)×3.01115597433066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01115597433066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01115597433066e-05×40589641000000     		ar = 331646.390219524m²