Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34413 / 21789
↖ ↑ ↗
← N 51.518998°
E  9.036255°		 ← 380.07 m → N 51.518998°
E  9.041748°		 →
↑
380.09 m
↓
↑
380.09 m
↓
N 51.515580°
E  9.036255°		 ← 380.09 m →
144 466 m²		 N 51.515580°
E  9.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525108337402344 y=0.332481384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525108337402344 × 216)
    floor (0.525108337402344 × 65536)
    floor (34413.5)     		tx = 34413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332481384277344 × 216)
    floor (0.332481384277344 × 65536)
    floor (21789.5)     		ty = 21789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34413 / 21789 ti = "16/34413/21789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34413/21789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34413 ÷ 216
    34413 ÷ 65536     		x = 0.525100708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21789 ÷ 216
    21789 ÷ 65536     		y = 0.332473754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525100708007812 × 2 - 1) × π
    0.050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15771240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332473754882812 × 2 - 1) × π
    0.335052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05259844185719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15771240} λ = 0.15771240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05259844185719))-π/2
    2×atan(2.86508621399041)-π/2
    2×1.2349862351382-π/2
    2.4699724702764-1.57079632675     		φ = 0.89917614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15771240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89917614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.518998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34413 KachelY 21789 0.15771240 0.89917614 9.036255 51.518998
    Oben rechts KachelX + 1 34414 KachelY 21789 0.15780827 0.89917614 9.041748 51.518998
    Unten links KachelX 34413 KachelY + 1 21790 0.15771240 0.89911648 9.036255 51.515580
    Unten rechts KachelX + 1 34414 KachelY + 1 21790 0.15780827 0.89911648 9.041748 51.515580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89917614-0.89911648) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dl = 380.093860000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89917614-0.89911648) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dr = 380.093860000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15771240-0.15780827) × cos(0.89917614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622255108948015 × 6371000     		do = 380.065810365457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15771240-0.15780827) × cos(0.89911648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622301810555103 × 6371000     		du = 380.094335135906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89917614)-sin(0.89911648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622255108948015-0.622301810555103)×R²
    abs(0.15780827-0.15771240)×4.67016070884174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67016070884174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67016070884174e-05×40589641000000     		ar = 144466.102003612m²