Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34411 / 36407
↖ ↑ ↗
← S 19.596019°
E  9.025268°		 ← 575.47 m → S 19.596019°
E  9.030762°		 →
↑
575.43 m
↓
↑
575.43 m
↓
S 19.601194°
E  9.025268°		 ← 575.45 m →
331 137 m²		 S 19.601194°
E  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525077819824219 y=0.555534362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525077819824219 × 216)
    floor (0.525077819824219 × 65536)
    floor (34411.5)     		tx = 34411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555534362792969 × 216)
    floor (0.555534362792969 × 65536)
    floor (36407.5)     		ty = 36407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34411 / 36407 ti = "16/34411/36407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34411/36407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34411 ÷ 216
    34411 ÷ 65536     		x = 0.525070190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36407 ÷ 216
    36407 ÷ 65536     		y = 0.555526733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525070190429688 × 2 - 1) × π
    0.050140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15752065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555526733398438 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.348884755434769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15752065} λ = 0.15752065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348884755434769))-π/2
    2×atan(0.705474427679022)-π/2
    2×0.61439063538834-π/2
    1.22878127077668-1.57079632675     		φ = -0.34201506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15752065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.025268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34201506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.596019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34411 KachelY 36407 0.15752065 -0.34201506 9.025268 -19.596019
    Oben rechts KachelX + 1 34412 KachelY 36407 0.15761653 -0.34201506 9.030762 -19.596019
    Unten links KachelX 34411 KachelY + 1 36408 0.15752065 -0.34210538 9.025268 -19.601194
    Unten rechts KachelX + 1 34412 KachelY + 1 36408 0.15761653 -0.34210538 9.030762 -19.601194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34201506--0.34210538) × R
    9.03200000000326e-05 × 6371000     		dl = 575.428720000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34201506--0.34210538) × R
    9.03200000000326e-05 × 6371000     		dr = 575.428720000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15752065-0.15761653) × cos(-0.34201506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942080755471863 × 6371000     		do = 575.471423759461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15752065-0.15761653) × cos(-0.34210538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942050459554847 × 6371000     		du = 575.452917453714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34201506)-sin(-0.34210538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942080755471863-0.942050459554847)×R²
    abs(0.15761653-0.15752065)×3.02959170160877e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.02959170160877e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.02959170160877e-05×40589641000000     		ar = 331137.460465826m²