Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3441 / 1171
↖ ↑ ↗
← N 77.888038°
W 28.784180°		 ← 1 025.30 m → N 77.888038°
W 28.740235°		 →
↑
1 025.67 m
↓
↑
1 025.67 m
↓
N 77.878814°
W 28.784180°		 ← 1 026.07 m →
1 052 008 m²		 N 77.878814°
W 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42010498046875 y=0.14300537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42010498046875 × 213)
    floor (0.42010498046875 × 8192)
    floor (3441.5)     		tx = 3441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14300537109375 × 213)
    floor (0.14300537109375 × 8192)
    floor (1171.5)     		ty = 1171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3441 / 1171 ti = "13/3441/1171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3441/1171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3441 ÷ 213
    3441 ÷ 8192     		x = 0.4200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1171 ÷ 213
    1171 ÷ 8192     		y = 0.1429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50237871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1429443359375 × 2 - 1) × π
    0.714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24344690221863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50237871} λ = -0.50237871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24344690221863))-π/2
    2×atan(9.42576504778553)-π/2
    2×1.46509951810134-π/2
    2.93019903620269-1.57079632675     		φ = 1.35940271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50237871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.784180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35940271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.888038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3441 KachelY 1171 -0.50237871 1.35940271 -28.784180 77.888038
    Oben rechts KachelX + 1 3442 KachelY 1171 -0.50161172 1.35940271 -28.740235 77.888038
    Unten links KachelX 3441 KachelY + 1 1172 -0.50237871 1.35924172 -28.784180 77.878814
    Unten rechts KachelX + 1 3442 KachelY + 1 1172 -0.50161172 1.35924172 -28.740235 77.878814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35940271-1.35924172) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dl = 1025.66728999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35940271-1.35924172) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dr = 1025.66728999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50237871--0.50161172) × cos(1.35940271) × R
    0.000766990000000023 × 0.209822697281575 × 6371000     		do = 1025.29720235615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50237871--0.50161172) × cos(1.35924172) × R
    0.000766990000000023 × 0.209980100836179 × 6371000     		du = 1026.06635376954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35940271)-sin(1.35924172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209822697281575-0.209980100836179)×R²
    abs(-0.50161172--0.50237871)×0.000157403554604169×R²
    0.000766990000000023×0.000157403554604169×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157403554604169×40589641000000     		ar = 1052008.25198073m²