Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34408 / 21842
↖ ↑ ↗
← N 51.337476°
E  9.008789°		 ← 381.58 m → N 51.337476°
E  9.014282°		 →
↑
381.62 m
↓
↑
381.62 m
↓
N 51.334044°
E  9.008789°		 ← 381.61 m →
145 625 m²		 N 51.334044°
E  9.014282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525032043457031 y=0.333290100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525032043457031 × 216)
    floor (0.525032043457031 × 65536)
    floor (34408.5)     		tx = 34408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333290100097656 × 216)
    floor (0.333290100097656 × 65536)
    floor (21842.5)     		ty = 21842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34408 / 21842 ti = "16/34408/21842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34408/21842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34408 ÷ 216
    34408 ÷ 65536     		x = 0.5250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21842 ÷ 216
    21842 ÷ 65536     		y = 0.333282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333282470703125 × 2 - 1) × π
    0.33343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04751713049747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15723303} λ = 0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04751713049747))-π/2
    2×atan(2.85056474416448)-π/2
    2×1.2334021533787-π/2
    2.46680430675739-1.57079632675     		φ = 0.89600798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89600798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.337476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34408 KachelY 21842 0.15723303 0.89600798 9.008789 51.337476
    Oben rechts KachelX + 1 34409 KachelY 21842 0.15732890 0.89600798 9.014282 51.337476
    Unten links KachelX 34408 KachelY + 1 21843 0.15723303 0.89594808 9.008789 51.334044
    Unten rechts KachelX + 1 34409 KachelY + 1 21843 0.15732890 0.89594808 9.014282 51.334044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89600798-0.89594808) × R
    5.99000000000016e-05 × 6371000     		dl = 381.62290000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89600798-0.89594808) × R
    5.99000000000016e-05 × 6371000     		dr = 381.62290000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15723303-0.15732890) × cos(0.89600798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624732063603693 × 6371000     		do = 381.578703975989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15723303-0.15732890) × cos(0.89594808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624778834750683 × 6371000     		du = 381.60727122056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89600798)-sin(0.89594808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624732063603693-0.624778834750683)×R²
    abs(0.15732890-0.15723303)×4.67711469899212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67711469899212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67711469899212e-05×40589641000000     		ar = 145624.622590195m²