Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34407 / 36263
↖ ↑ ↗
← S 18.849112°
E  9.003296°		 ← 578.03 m → S 18.849112°
E  9.008789°		 →
↑
578.04 m
↓
↑
578.04 m
↓
S 18.854310°
E  9.003296°		 ← 578.01 m →
334 121 m²		 S 18.854310°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525016784667969 y=0.553337097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525016784667969 × 216)
    floor (0.525016784667969 × 65536)
    floor (34407.5)     		tx = 34407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553337097167969 × 216)
    floor (0.553337097167969 × 65536)
    floor (36263.5)     		ty = 36263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34407 / 36263 ti = "16/34407/36263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34407/36263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34407 ÷ 216
    34407 ÷ 65536     		x = 0.525009155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36263 ÷ 216
    36263 ÷ 65536     		y = 0.553329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525009155273438 × 2 - 1) × π
    0.050018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15713716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553329467773438 × 2 - 1) × π
    -0.106658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.335078928344193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15713716} λ = 0.15713716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335078928344193))-π/2
    2×atan(0.715281628129973)-π/2
    2×0.620908631867461-π/2
    1.24181726373492-1.57079632675     		φ = -0.32897906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15713716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.003296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32897906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.849112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34407 KachelY 36263 0.15713716 -0.32897906 9.003296 -18.849112
    Oben rechts KachelX + 1 34408 KachelY 36263 0.15723303 -0.32897906 9.008789 -18.849112
    Unten links KachelX 34407 KachelY + 1 36264 0.15713716 -0.32906979 9.003296 -18.854310
    Unten rechts KachelX + 1 34408 KachelY + 1 36264 0.15723303 -0.32906979 9.008789 -18.854310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32897906--0.32906979) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dl = 578.040829999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32897906--0.32906979) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dr = 578.040829999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15713716-0.15723303) × cos(-0.32897906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946372678921657 × 6371000     		do = 578.032858147472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15713716-0.15723303) × cos(-0.32906979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946343362249595 × 6371000     		du = 578.01495188272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32897906)-sin(-0.32906979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946372678921657-0.946343362249595)×R²
    abs(0.15723303-0.15713716)×2.93166720625182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93166720625182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93166720625182e-05×40589641000000     		ar = 334121.418043965m²