Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34405 / 36265
↖ ↑ ↗
← S 18.859509°
E  8.992310°		 ← 578 m → S 18.859509°
E  8.997803°		 →
↑
578.04 m
↓
↑
578.04 m
↓
S 18.864707°
E  8.992310°		 ← 577.98 m →
334 101 m²		 S 18.864707°
E  8.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524986267089844 y=0.553367614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524986267089844 × 216)
    floor (0.524986267089844 × 65536)
    floor (34405.5)     		tx = 34405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553367614746094 × 216)
    floor (0.553367614746094 × 65536)
    floor (36265.5)     		ty = 36265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34405 / 36265 ti = "16/34405/36265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34405/36265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34405 ÷ 216
    34405 ÷ 65536     		x = 0.524978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36265 ÷ 216
    36265 ÷ 65536     		y = 0.553359985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524978637695312 × 2 - 1) × π
    0.049957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15694541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553359985351562 × 2 - 1) × π
    -0.106719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.335270675942673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15694541} λ = 0.15694541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335270675942673))-π/2
    2×atan(0.715144487744132)-π/2
    2×0.620817902334171-π/2
    1.24163580466834-1.57079632675     		φ = -0.32916052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15694541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.992310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32916052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.859509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34405 KachelY 36265 0.15694541 -0.32916052 8.992310 -18.859509
    Oben rechts KachelX + 1 34406 KachelY 36265 0.15704128 -0.32916052 8.997803 -18.859509
    Unten links KachelX 34405 KachelY + 1 36266 0.15694541 -0.32925125 8.992310 -18.864707
    Unten rechts KachelX + 1 34406 KachelY + 1 36266 0.15704128 -0.32925125 8.997803 -18.864707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32916052--0.32925125) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dl = 578.040829999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32916052--0.32925125) × R
    9.07299999999833e-05 × 6371000     		dr = 578.040829999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15694541-0.15704128) × cos(-0.32916052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		do = 577.997040859786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15694541-0.15704128) × cos(-0.32925125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946284705535006 × 6371000     		du = 577.97912507882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32916052)-sin(-0.32925125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946314037787297-0.946284705535006)×R²
    abs(0.15704128-0.15694541)×2.9332252291181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9332252291181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9332252291181e-05×40589641000000     		ar = 334100.711438906m²