Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3440 / 2672
↖ ↑ ↗
← N 76.268695°
W104.414063°		 ← 579.96 m → N 76.268695°
W104.392090°		 →
↑
580.08 m
↓
↑
580.08 m
↓
N 76.263478°
W104.414063°		 ← 580.17 m →
336 485 m²		 N 76.263478°
W104.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209991455078125 y=0.163116455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209991455078125 × 214)
    floor (0.209991455078125 × 16384)
    floor (3440.5)     		tx = 3440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163116455078125 × 214)
    floor (0.163116455078125 × 16384)
    floor (2672.5)     		ty = 2672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3440 / 2672 ti = "14/3440/2672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3440/2672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3440 ÷ 214
    3440 ÷ 16384     		x = 0.2099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2672 ÷ 214
    2672 ÷ 16384     		y = 0.1630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2099609375 × 2 - 1) × π
    -0.580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.82236918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82236918} λ = -1.82236918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11689348722168))-π/2
    2×atan(8.30529686052456)-π/2
    2×1.45096808231764-π/2
    2.90193616463529-1.57079632675     		φ = 1.33113984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82236918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33113984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3440 KachelY 2672 -1.82236918 1.33113984 -104.414063 76.268695
    Oben rechts KachelX + 1 3441 KachelY 2672 -1.82198568 1.33113984 -104.392090 76.268695
    Unten links KachelX 3440 KachelY + 1 2673 -1.82236918 1.33104879 -104.414063 76.263478
    Unten rechts KachelX + 1 3441 KachelY + 1 2673 -1.82198568 1.33104879 -104.392090 76.263478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33113984-1.33104879) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000     		dl = 580.079549999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33113984-1.33104879) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000     		dr = 580.079549999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82236918--1.82198568) × cos(1.33113984) × R
    0.00038349999999987 × 0.237368944988105 × 6371000     		do = 579.958439856922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82236918--1.82198568) × cos(1.33104879) × R
    0.00038349999999987 × 0.237457391756064 × 6371000     		du = 580.174539943472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33113984)-sin(1.33104879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237368944988105-0.237457391756064)×R²
    abs(-1.82198568--1.82236918)×8.8446767959327e-05×R²
    0.00038349999999987×8.8446767959327e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.8446767959327e-05×40589641000000     		ar = 336484.708664183m²