Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34398 / 36366
↖ ↑ ↗
← S 19.383705°
E  8.953857°		 ← 576.23 m → S 19.383705°
E  8.959351°		 →
↑
576.13 m
↓
↑
576.13 m
↓
S 19.388886°
E  8.953857°		 ← 576.21 m →
331 976 m²		 S 19.388886°
E  8.959351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524879455566406 y=0.554908752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524879455566406 × 216)
    floor (0.524879455566406 × 65536)
    floor (34398.5)     		tx = 34398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554908752441406 × 216)
    floor (0.554908752441406 × 65536)
    floor (36366.5)     		ty = 36366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34398 / 36366 ti = "16/34398/36366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34398/36366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34398 ÷ 216
    34398 ÷ 65536     		x = 0.524871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36366 ÷ 216
    36366 ÷ 65536     		y = 0.554901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524871826171875 × 2 - 1) × π
    0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.10980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.344953929665924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15627429} λ = 0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344953929665924))-π/2
    2×atan(0.708252982167685)-π/2
    2×0.616243429852116-π/2
    1.23248685970423-1.57079632675     		φ = -0.33830947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33830947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.383705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34398 KachelY 36366 0.15627429 -0.33830947 8.953857 -19.383705
    Oben rechts KachelX + 1 34399 KachelY 36366 0.15637017 -0.33830947 8.959351 -19.383705
    Unten links KachelX 34398 KachelY + 1 36367 0.15627429 -0.33839990 8.953857 -19.388886
    Unten rechts KachelX + 1 34399 KachelY + 1 36367 0.15637017 -0.33839990 8.959351 -19.388886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33830947--0.33839990) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dl = 576.129529999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33830947--0.33839990) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dr = 576.129529999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15627429-0.15637017) × cos(-0.33830947) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.943317088048654 × 6371000     		do = 576.226639343766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15627429-0.15637017) × cos(-0.33839990) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.943287071120218 × 6371000     		du = 576.208303458606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33830947)-sin(-0.33839990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943317088048654-0.943287071120218)×R²
    abs(0.15637017-0.15627429)×3.00169284360718e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.00169284360718e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.00169284360718e-05×40589641000000     		ar = 331975.901202338m²