Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34397 / 21647
↖ ↑ ↗
← N 52.001792°
E  8.948364°		 ← 376.02 m → N 52.001792°
E  8.953857°		 →
↑
376.02 m
↓
↑
376.02 m
↓
N 51.998411°
E  8.948364°		 ← 376.05 m →
141 396 m²		 N 51.998411°
E  8.953857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524864196777344 y=0.330314636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524864196777344 × 216)
    floor (0.524864196777344 × 65536)
    floor (34397.5)     		tx = 34397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330314636230469 × 216)
    floor (0.330314636230469 × 65536)
    floor (21647.5)     		ty = 21647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34397 / 21647 ti = "16/34397/21647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34397/21647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34397 ÷ 216
    34397 ÷ 65536     		x = 0.524856567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21647 ÷ 216
    21647 ÷ 65536     		y = 0.330307006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524856567382812 × 2 - 1) × π
    0.049713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15617842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330307006835938 × 2 - 1) × π
    0.339385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06621252134929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15617842} λ = 0.15617842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06621252134929))-π/2
    2×atan(2.90435844653916)-π/2
    2×1.23919940971154-π/2
    2.47839881942307-1.57079632675     		φ = 0.90760249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15617842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.948364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90760249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.001792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34397 KachelY 21647 0.15617842 0.90760249 8.948364 52.001792
    Oben rechts KachelX + 1 34398 KachelY 21647 0.15627429 0.90760249 8.953857 52.001792
    Unten links KachelX 34397 KachelY + 1 21648 0.15617842 0.90754347 8.948364 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 34398 KachelY + 1 21648 0.15627429 0.90754347 8.953857 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90760249-0.90754347) × R
    5.90200000000207e-05 × 6371000     		dl = 376.016420000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90760249-0.90754347) × R
    5.90200000000207e-05 × 6371000     		dr = 376.016420000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15617842-0.15627429) × cos(0.90760249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615636826865324 × 6371000     		do = 376.023444610939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15617842-0.15627429) × cos(0.90754347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 376.051851408866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90760249)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615636826865324-0.615683335324272)×R²
    abs(0.15627429-0.15617842)×4.6508458948713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6508458948713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6508458948713e-05×40589641000000     		ar = 141396.330231157m²