Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34392 / 34983
↖ ↑ ↗
← S 12.076924°
E  8.920898°		 ← 597.27 m → S 12.076924°
E  8.926391°		 →
↑
597.28 m
↓
↑
597.28 m
↓
S 12.082296°
E  8.920898°		 ← 597.26 m →
356 734 m²		 S 12.082296°
E  8.926391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524787902832031 y=0.533805847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524787902832031 × 216)
    floor (0.524787902832031 × 65536)
    floor (34392.5)     		tx = 34392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533805847167969 × 216)
    floor (0.533805847167969 × 65536)
    floor (34983.5)     		ty = 34983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34392 / 34983 ti = "16/34392/34983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34392/34983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34392 ÷ 216
    34392 ÷ 65536     		x = 0.5247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34983 ÷ 216
    34983 ÷ 65536     		y = 0.533798217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533798217773438 × 2 - 1) × π
    -0.067596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.212360465316849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15569905} λ = 0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212360465316849))-π/2
    2×atan(0.808673146400671)-π/2
    2×0.680007117089262-π/2
    1.36001423417852-1.57079632675     		φ = -0.21078209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21078209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.076924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34392 KachelY 34983 0.15569905 -0.21078209 8.920898 -12.076924
    Oben rechts KachelX + 1 34393 KachelY 34983 0.15579492 -0.21078209 8.926391 -12.076924
    Unten links KachelX 34392 KachelY + 1 34984 0.15569905 -0.21087584 8.920898 -12.082296
    Unten rechts KachelX + 1 34393 KachelY + 1 34984 0.15579492 -0.21087584 8.926391 -12.082296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21078209--0.21087584) × R
    9.37500000000036e-05 × 6371000     		dl = 597.281250000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21078209--0.21087584) × R
    9.37500000000036e-05 × 6371000     		dr = 597.281250000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15569905-0.15579492) × cos(-0.21078209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977867581224187 × 6371000     		do = 597.269559291202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15569905-0.15579492) × cos(-0.21087584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977847962107176 × 6371000     		du = 597.257576174474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21078209)-sin(-0.21087584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977867581224187-0.977847962107176)×R²
    abs(0.15579492-0.15569905)×1.96191170108717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96191170108717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96191170108717e-05×40589641000000     		ar = 356734.330576176m²