Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34391 / 36362
↖ ↑ ↗
← S 19.362976°
E  8.915405°		 ← 576.24 m → S 19.362976°
E  8.920898°		 →
↑
576.26 m
↓
↑
576.26 m
↓
S 19.368159°
E  8.915405°		 ← 576.22 m →
332 057 m²		 S 19.368159°
E  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524772644042969 y=0.554847717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524772644042969 × 216)
    floor (0.524772644042969 × 65536)
    floor (34391.5)     		tx = 34391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554847717285156 × 216)
    floor (0.554847717285156 × 65536)
    floor (36362.5)     		ty = 36362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34391 / 36362 ti = "16/34391/36362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34391/36362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34391 ÷ 216
    34391 ÷ 65536     		x = 0.524765014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36362 ÷ 216
    36362 ÷ 65536     		y = 0.554840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524765014648438 × 2 - 1) × π
    0.049530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15560318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.344570434468964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15560318} λ = 0.15560318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344570434468964))-π/2
    2×atan(0.708524645872113)-π/2
    2×0.616424320146146-π/2
    1.23284864029229-1.57079632675     		φ = -0.33794769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15560318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.915405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33794769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.362976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34391 KachelY 36362 0.15560318 -0.33794769 8.915405 -19.362976
    Oben rechts KachelX + 1 34392 KachelY 36362 0.15569905 -0.33794769 8.920898 -19.362976
    Unten links KachelX 34391 KachelY + 1 36363 0.15560318 -0.33803814 8.915405 -19.368159
    Unten rechts KachelX + 1 34392 KachelY + 1 36363 0.15569905 -0.33803814 8.920898 -19.368159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33794769--0.33803814) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dl = 576.256949999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33794769--0.33803814) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dr = 576.256949999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15560318-0.15569905) × cos(-0.33794769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943437098512484 × 6371000     		do = 576.239841535698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15560318-0.15569905) × cos(-0.33803814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		du = 576.22152236235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33794769)-sin(-0.33803814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943437098512484-0.943407105814124)×R²
    abs(0.15569905-0.15560318)×2.99926983605703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99926983605703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99926983605703e-05×40589641000000     		ar = 332056.935502523m²