Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34389 / 36363
↖ ↑ ↗
← S 19.368159°
E  8.904419°		 ← 576.22 m → S 19.368159°
E  8.909912°		 →
↑
576.19 m
↓
↑
576.19 m
↓
S 19.373341°
E  8.904419°		 ← 576.20 m →
332 010 m²		 S 19.373341°
E  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524742126464844 y=0.554862976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524742126464844 × 216)
    floor (0.524742126464844 × 65536)
    floor (34389.5)     		tx = 34389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554862976074219 × 216)
    floor (0.554862976074219 × 65536)
    floor (36363.5)     		ty = 36363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34389 / 36363 ti = "16/34389/36363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34389/36363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34389 ÷ 216
    34389 ÷ 65536     		x = 0.524734497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36363 ÷ 216
    36363 ÷ 65536     		y = 0.554855346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524734497070312 × 2 - 1) × π
    0.049468994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15541143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.344666308268204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15541143} λ = 0.15541143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344666308268204))-π/2
    2×atan(0.708456720178657)-π/2
    2×0.616379095415449-π/2
    1.2327581908309-1.57079632675     		φ = -0.33803814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15541143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33803814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.368159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34389 KachelY 36363 0.15541143 -0.33803814 8.904419 -19.368159
    Oben rechts KachelX + 1 34390 KachelY 36363 0.15550730 -0.33803814 8.909912 -19.368159
    Unten links KachelX 34389 KachelY + 1 36364 0.15541143 -0.33812858 8.904419 -19.373341
    Unten rechts KachelX + 1 34390 KachelY + 1 36364 0.15550730 -0.33812858 8.909912 -19.373341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33803814--0.33812858) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dl = 576.193240000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33803814--0.33812858) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dr = 576.193240000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15541143-0.15550730) × cos(-0.33803814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		do = 576.22152236235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15541143-0.15550730) × cos(-0.33812858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943377108714781 × 6371000     		du = 576.203200500936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33803814)-sin(-0.33812858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943407105814124-0.943377108714781)×R²
    abs(0.15550730-0.15541143)×2.99970993429266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99970993429266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99970993429266e-05×40589641000000     		ar = 332009.667687776m²