Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34383 / 48341
↖ ↑ ↗
← S 64.673269°
E  8.871460°		 ← 261.28 m → S 64.673269°
E  8.876953°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 64.675619°
E  8.871460°		 ← 261.26 m →
68 264 m²		 S 64.675619°
E  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524650573730469 y=0.737632751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524650573730469 × 216)
    floor (0.524650573730469 × 65536)
    floor (34383.5)     		tx = 34383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737632751464844 × 216)
    floor (0.737632751464844 × 65536)
    floor (48341.5)     		ty = 48341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34383 / 48341 ti = "16/34383/48341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34383/48341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34383 ÷ 216
    34383 ÷ 65536     		x = 0.524642944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48341 ÷ 216
    48341 ÷ 65536     		y = 0.737625122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524642944335938 × 2 - 1) × π
    0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737625122070312 × 2 - 1) × π
    -0.475250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49304267556627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15483619} λ = 0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49304267556627))-π/2
    2×atan(0.224687961845744)-π/2
    2×0.22101742010047-π/2
    0.442034840200941-1.57079632675     		φ = -1.12876149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12876149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.673269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34383 KachelY 48341 0.15483619 -1.12876149 8.871460 -64.673269
    Oben rechts KachelX + 1 34384 KachelY 48341 0.15493206 -1.12876149 8.876953 -64.673269
    Unten links KachelX 34383 KachelY + 1 48342 0.15483619 -1.12880250 8.871460 -64.675619
    Unten rechts KachelX + 1 34384 KachelY + 1 48342 0.15493206 -1.12880250 8.876953 -64.675619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12876149--1.12880250) × R
    4.1009999999897e-05 × 6371000     		dl = 261.274709999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12876149--1.12880250) × R
    4.1009999999897e-05 × 6371000     		dr = 261.274709999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15483619-0.15493206) × cos(-1.12876149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427779603956269 × 6371000     		do = 261.282550351927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15483619-0.15493206) × cos(-1.12880250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427742535351713 × 6371000     		du = 261.259909301613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12876149)-sin(-1.12880250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427779603956269-0.427742535351713)×R²
    abs(0.15493206-0.15483619)×3.70686045551571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70686045551571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70686045551571e-05×40589641000000     		ar = 68263.5648136393m²