Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34380 / 21979
↖ ↑ ↗
← N 50.864912°
E  8.854980°		 ← 385.54 m → N 50.864912°
E  8.860474°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 50.861444°
E  8.854980°		 ← 385.57 m →
148 659 m²		 N 50.861444°
E  8.860474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524604797363281 y=0.335380554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524604797363281 × 216)
    floor (0.524604797363281 × 65536)
    floor (34380.5)     		tx = 34380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335380554199219 × 216)
    floor (0.335380554199219 × 65536)
    floor (21979.5)     		ty = 21979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34380 / 21979 ti = "16/34380/21979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34380/21979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34380 ÷ 216
    34380 ÷ 65536     		x = 0.52459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21979 ÷ 216
    21979 ÷ 65536     		y = 0.335372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52459716796875 × 2 - 1) × π
    0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335372924804688 × 2 - 1) × π
    0.329254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03438242000157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15454856} λ = 0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03438242000157))-π/2
    2×atan(2.81336821905687)-π/2
    2×1.22927825095732-π/2
    2.45855650191464-1.57079632675     		φ = 0.88776018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88776018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.864912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34380 KachelY 21979 0.15454856 0.88776018 8.854980 50.864912
    Oben rechts KachelX + 1 34381 KachelY 21979 0.15464444 0.88776018 8.860474 50.864912
    Unten links KachelX 34380 KachelY + 1 21980 0.15454856 0.88769966 8.854980 50.861444
    Unten rechts KachelX + 1 34381 KachelY + 1 21980 0.15464444 0.88769966 8.860474 50.861444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88776018-0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88776018-0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15454856-0.15464444) × cos(0.88776018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		do = 385.539490167195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15454856-0.15464444) × cos(0.88769966) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		du = 385.568164628558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88776018)-sin(0.88769966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63115094714549-0.63119788893462)×R²
    abs(0.15464444-0.15454856)×4.694178912934e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.694178912934e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.694178912934e-05×40589641000000     		ar = 148659.115092444m²