Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34380 / 21636
↖ ↑ ↗
← N 52.038977°
E  8.854980°		 ← 375.75 m → N 52.038977°
E  8.860474°		 →
↑
375.76 m
↓
↑
375.76 m
↓
N 52.035597°
E  8.854980°		 ← 375.78 m →
141 198 m²		 N 52.035597°
E  8.860474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524604797363281 y=0.330146789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524604797363281 × 216)
    floor (0.524604797363281 × 65536)
    floor (34380.5)     		tx = 34380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330146789550781 × 216)
    floor (0.330146789550781 × 65536)
    floor (21636.5)     		ty = 21636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34380 / 21636 ti = "16/34380/21636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34380/21636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34380 ÷ 216
    34380 ÷ 65536     		x = 0.52459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21636 ÷ 216
    21636 ÷ 65536     		y = 0.33013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52459716796875 × 2 - 1) × π
    0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33013916015625 × 2 - 1) × π
    0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15454856} λ = 0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06726713314093))-π/2
    2×atan(2.90742303289445)-π/2
    2×1.23952390375952-π/2
    2.47904780751904-1.57079632675     		φ = 0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34380 KachelY 21636 0.15454856 0.90825148 8.854980 52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 34381 KachelY 21636 0.15464444 0.90825148 8.860474 52.038977
    Unten links KachelX 34380 KachelY + 1 21637 0.15454856 0.90819250 8.854980 52.035597
    Unten rechts KachelX + 1 34381 KachelY + 1 21637 0.15464444 0.90819250 8.860474 52.035597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90825148-0.90819250) × R
    5.89800000000418e-05 × 6371000     		dl = 375.761580000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90825148-0.90819250) × R
    5.89800000000418e-05 × 6371000     		dr = 375.761580000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15454856-0.15464444) × cos(0.90825148) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 375.750183797718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15454856-0.15464444) × cos(0.90819250) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615171774150601 × 6371000     		du = 375.778588694091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90825148)-sin(0.90819250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615171774150601)×R²
    abs(0.15464444-0.15454856)×4.6500495297086e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6500495297086e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6500495297086e-05×40589641000000     		ar = 141197.819524691m²