Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34378 / 35002
↖ ↑ ↗
← S 12.178965°
E  8.843994°		 ← 597.04 m → S 12.178965°
E  8.849487°		 →
↑
597.03 m
↓
↑
597.03 m
↓
S 12.184334°
E  8.843994°		 ← 597.03 m →
356 446 m²		 S 12.184334°
E  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524574279785156 y=0.534095764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524574279785156 × 216)
    floor (0.524574279785156 × 65536)
    floor (34378.5)     		tx = 34378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534095764160156 × 216)
    floor (0.534095764160156 × 65536)
    floor (35002.5)     		ty = 35002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34378 / 35002 ti = "16/34378/35002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34378/35002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34378 ÷ 216
    34378 ÷ 65536     		x = 0.524566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35002 ÷ 216
    35002 ÷ 65536     		y = 0.534088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524566650390625 × 2 - 1) × π
    0.04913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15435682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.214182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15435682} λ = 0.15435682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214182067502411))-π/2
    2×atan(0.807201406499057)-π/2
    2×0.679116644400199-π/2
    1.3582332888004-1.57079632675     		φ = -0.21256304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15435682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21256304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.178965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34378 KachelY 35002 0.15435682 -0.21256304 8.843994 -12.178965
    Oben rechts KachelX + 1 34379 KachelY 35002 0.15445269 -0.21256304 8.849487 -12.178965
    Unten links KachelX 34378 KachelY + 1 35003 0.15435682 -0.21265675 8.843994 -12.184334
    Unten rechts KachelX + 1 34379 KachelY + 1 35003 0.15445269 -0.21265675 8.849487 -12.184334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21256304--0.21265675) × R
    9.37099999999969e-05 × 6371000     		dl = 597.02640999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21256304--0.21265675) × R
    9.37099999999969e-05 × 6371000     		dr = 597.02640999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15435682-0.15445269) × cos(-0.21256304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977493411821532 × 6371000     		do = 597.041021196152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15435682-0.15445269) × cos(-0.21265675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977473637910917 × 6371000     		du = 597.028943533384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21256304)-sin(-0.21265675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977493411821532-0.977473637910917)×R²
    abs(0.15445269-0.15435682)×1.97739106143624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97739106143624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97739106143624e-05×40589641000000     		ar = 356445.652426488m²