Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34376 / 35001
↖ ↑ ↗
← S 12.173595°
E  8.833008°		 ← 597.05 m → S 12.173595°
E  8.838501°		 →
↑
597.09 m
↓
↑
597.09 m
↓
S 12.178965°
E  8.833008°		 ← 597.04 m →
356 491 m²		 S 12.178965°
E  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524543762207031 y=0.534080505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524543762207031 × 216)
    floor (0.524543762207031 × 65536)
    floor (34376.5)     		tx = 34376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534080505371094 × 216)
    floor (0.534080505371094 × 65536)
    floor (35001.5)     		ty = 35001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34376 / 35001 ti = "16/34376/35001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34376/35001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34376 ÷ 216
    34376 ÷ 65536     		x = 0.5245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35001 ÷ 216
    35001 ÷ 65536     		y = 0.534072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534072875976562 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.214086193703171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15416507} λ = 0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214086193703171))-π/2
    2×atan(0.80727879967458)-π/2
    2×0.679163502877594-π/2
    1.35832700575519-1.57079632675     		φ = -0.21246932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21246932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.173595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34376 KachelY 35001 0.15416507 -0.21246932 8.833008 -12.173595
    Oben rechts KachelX + 1 34377 KachelY 35001 0.15426094 -0.21246932 8.838501 -12.173595
    Unten links KachelX 34376 KachelY + 1 35002 0.15416507 -0.21256304 8.833008 -12.178965
    Unten rechts KachelX + 1 34377 KachelY + 1 35002 0.15426094 -0.21256304 8.838501 -12.178965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21246932--0.21256304) × R
    9.37200000000193e-05 × 6371000     		dl = 597.090120000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21246932--0.21256304) × R
    9.37200000000193e-05 × 6371000     		dr = 597.090120000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15416507-0.15426094) × cos(-0.21246932) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.977513179256969 × 6371000     		do = 597.053094904134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15416507-0.15426094) × cos(-0.21256304) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.977493411821532 × 6371000     		du = 597.041021196325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21246932)-sin(-0.21256304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977513179256969-0.977493411821532)×R²
    abs(0.15426094-0.15416507)×1.97674354367461e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.97674354367461e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.97674354367461e-05×40589641000000     		ar = 356490.899797867m²