Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34374 / 36297
↖ ↑ ↗
← S 19.025770°
E  8.822021°		 ← 577.48 m → S 19.025770°
E  8.827515°		 →
↑
577.47 m
↓
↑
577.47 m
↓
S 19.030963°
E  8.822021°		 ← 577.46 m →
333 472 m²		 S 19.030963°
E  8.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524513244628906 y=0.553855895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524513244628906 × 216)
    floor (0.524513244628906 × 65536)
    floor (34374.5)     		tx = 34374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553855895996094 × 216)
    floor (0.553855895996094 × 65536)
    floor (36297.5)     		ty = 36297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34374 / 36297 ti = "16/34374/36297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34374/36297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34374 ÷ 216
    34374 ÷ 65536     		x = 0.524505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36297 ÷ 216
    36297 ÷ 65536     		y = 0.553848266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524505615234375 × 2 - 1) × π
    0.04901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15397332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553848266601562 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.338338637518356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15397332} λ = 0.15397332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338338637518356))-π/2
    2×atan(0.712953814104236)-π/2
    2×0.61936699638103-π/2
    1.23873399276206-1.57079632675     		φ = -0.33206233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15397332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.822021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33206233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.025770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34374 KachelY 36297 0.15397332 -0.33206233 8.822021 -19.025770
    Oben rechts KachelX + 1 34375 KachelY 36297 0.15406920 -0.33206233 8.827515 -19.025770
    Unten links KachelX 34374 KachelY + 1 36298 0.15397332 -0.33215297 8.822021 -19.030963
    Unten rechts KachelX + 1 34375 KachelY + 1 36298 0.15406920 -0.33215297 8.827515 -19.030963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33206233--0.33215297) × R
    9.06399999999752e-05 × 6371000     		dl = 577.467439999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33206233--0.33215297) × R
    9.06399999999752e-05 × 6371000     		dr = 577.467439999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15397332-0.15406920) × cos(-0.33206233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.945372048488048 × 6371000     		do = 577.481914969512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15397332-0.15406920) × cos(-0.33215297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.945342496563869 × 6371000     		du = 577.46386313289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33206233)-sin(-0.33215297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945372048488048-0.945342496563869)×R²
    abs(0.15406920-0.15397332)×2.95519241791942e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95519241791942e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95519241791942e-05×40589641000000     		ar = 333471.791138133m²