Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34373 / 36296
↖ ↑ ↗
← S 19.020577°
E  8.816528°		 ← 577.44 m → S 19.020577°
E  8.822021°		 →
↑
577.40 m
↓
↑
577.40 m
↓
S 19.025770°
E  8.816528°		 ← 577.42 m →
333 411 m²		 S 19.025770°
E  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524497985839844 y=0.553840637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524497985839844 × 216)
    floor (0.524497985839844 × 65536)
    floor (34373.5)     		tx = 34373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553840637207031 × 216)
    floor (0.553840637207031 × 65536)
    floor (36296.5)     		ty = 36296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34373 / 36296 ti = "16/34373/36296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34373/36296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34373 ÷ 216
    34373 ÷ 65536     		x = 0.524490356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36296 ÷ 216
    36296 ÷ 65536     		y = 0.5538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524490356445312 × 2 - 1) × π
    0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.338242763719116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15387745} λ = 0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338242763719116))-π/2
    2×atan(0.713022170971841)-π/2
    2×0.619412315294097-π/2
    1.23882463058819-1.57079632675     		φ = -0.33197170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33197170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.020577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34373 KachelY 36296 0.15387745 -0.33197170 8.816528 -19.020577
    Oben rechts KachelX + 1 34374 KachelY 36296 0.15397332 -0.33197170 8.822021 -19.020577
    Unten links KachelX 34373 KachelY + 1 36297 0.15387745 -0.33206233 8.816528 -19.025770
    Unten rechts KachelX + 1 34374 KachelY + 1 36297 0.15397332 -0.33206233 8.822021 -19.025770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33197170--0.33206233) × R
    9.0630000000036e-05 × 6371000     		dl = 577.403730000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33197170--0.33206233) × R
    9.0630000000036e-05 × 6371000     		dr = 577.403730000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15387745-0.15397332) × cos(-0.33197170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945401589386343 × 6371000     		do = 577.439728535727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15387745-0.15397332) × cos(-0.33206233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945372048488048 × 6371000     		du = 577.421685316334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33197170)-sin(-0.33206233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945401589386343-0.945372048488048)×R²
    abs(0.15397332-0.15387745)×2.95408982946554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95408982946554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95408982946554e-05×40589641000000     		ar = 333410.64422387m²