Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34371 / 36292
↖ ↑ ↗
← S 18.999803°
E  8.805542°		 ← 577.51 m → S 18.999803°
E  8.811035°		 →
↑
577.53 m
↓
↑
577.53 m
↓
S 19.004997°
E  8.805542°		 ← 577.49 m →
333 526 m²		 S 19.004997°
E  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524467468261719 y=0.553779602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524467468261719 × 216)
    floor (0.524467468261719 × 65536)
    floor (34371.5)     		tx = 34371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553779602050781 × 216)
    floor (0.553779602050781 × 65536)
    floor (36292.5)     		ty = 36292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34371 / 36292 ti = "16/34371/36292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34371/36292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34371 ÷ 216
    34371 ÷ 65536     		x = 0.524459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36292 ÷ 216
    36292 ÷ 65536     		y = 0.55377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524459838867188 × 2 - 1) × π
    0.048919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15368570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15368570} λ = 0.15368570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337859268522156))-π/2
    2×atan(0.713295663988012)-π/2
    2×0.619593605103657-π/2
    1.23918721020731-1.57079632675     		φ = -0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15368570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34371 KachelY 36292 0.15368570 -0.33160912 8.805542 -18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 34372 KachelY 36292 0.15378157 -0.33160912 8.811035 -18.999803
    Unten links KachelX 34371 KachelY + 1 36293 0.15368570 -0.33169977 8.805542 -19.004997
    Unten rechts KachelX + 1 34372 KachelY + 1 36293 0.15378157 -0.33169977 8.811035 -19.004997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33160912--0.33169977) × R
    9.06500000000254e-05 × 6371000     		dl = 577.531150000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33160912--0.33169977) × R
    9.06500000000254e-05 × 6371000     		dr = 577.531150000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15368570-0.15378157) × cos(-0.33160912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 577.511865913157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15368570-0.15378157) × cos(-0.33169977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945490178514262 × 6371000     		du = 577.493837691615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33160912)-sin(-0.33169977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.945490178514262)×R²
    abs(0.15378157-0.15368570)×2.9516343363456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9516343363456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9516343363456e-05×40589641000000     		ar = 333525.886358193m²