Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3437 / 1139
↖ ↑ ↗
← N 78.179588°
W 28.959961°		 ← 1 000.97 m → N 78.179588°
W 28.916016°		 →
↑
1 001.33 m
↓
↑
1 001.33 m
↓
N 78.170582°
W 28.959961°		 ← 1 001.72 m →
1 002 680 m²		 N 78.170582°
W 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41961669921875 y=0.13909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41961669921875 × 213)
    floor (0.41961669921875 × 8192)
    floor (3437.5)     		tx = 3437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13909912109375 × 213)
    floor (0.13909912109375 × 8192)
    floor (1139.5)     		ty = 1139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3437 / 1139 ti = "13/3437/1139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3437/1139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3437 ÷ 213
    3437 ÷ 8192     		x = 0.4195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1139 ÷ 213
    1139 ÷ 8192     		y = 0.1390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50544667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1390380859375 × 2 - 1) × π
    0.721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2679905948241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50544667} λ = -0.50544667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2679905948241))-π/2
    2×atan(9.65997050419785)-π/2
    2×1.46764376910196-π/2
    2.93528753820392-1.57079632675     		φ = 1.36449121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50544667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36449121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.179588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3437 KachelY 1139 -0.50544667 1.36449121 -28.959961 78.179588
    Oben rechts KachelX + 1 3438 KachelY 1139 -0.50467968 1.36449121 -28.916016 78.179588
    Unten links KachelX 3437 KachelY + 1 1140 -0.50544667 1.36433404 -28.959961 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 3438 KachelY + 1 1140 -0.50467968 1.36433404 -28.916016 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36449121-1.36433404) × R
    0.00015717000000004 × 6371000     		dl = 1001.33007000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36449121-1.36433404) × R
    0.00015717000000004 × 6371000     		dr = 1001.33007000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50544667--0.50467968) × cos(1.36449121) × R
    0.000766990000000023 × 0.204844775105168 × 6371000     		do = 1000.97261904299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50544667--0.50467968) × cos(1.36433404) × R
    0.000766990000000023 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 1001.7243307662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36449121)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204844775105168-0.204998609701595)×R²
    abs(-0.50467968--0.50544667)×0.000153834596426705×R²
    0.000766990000000023×0.000153834596426705×6371000²
    0.000766990000000023×0.000153834596426705×40589641000000     		ar = 1002680.34053529m²