Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34369 / 21949
↖ ↑ ↗
← N 50.968806°
E  8.794556°		 ← 384.68 m → N 50.968806°
E  8.800049°		 →
↑
384.68 m
↓
↑
384.68 m
↓
N 50.965346°
E  8.794556°		 ← 384.71 m →
147 984 m²		 N 50.965346°
E  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524436950683594 y=0.334922790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524436950683594 × 216)
    floor (0.524436950683594 × 65536)
    floor (34369.5)     		tx = 34369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334922790527344 × 216)
    floor (0.334922790527344 × 65536)
    floor (21949.5)     		ty = 21949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34369 / 21949 ti = "16/34369/21949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34369/21949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34369 ÷ 216
    34369 ÷ 65536     		x = 0.524429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21949 ÷ 216
    21949 ÷ 65536     		y = 0.334915161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524429321289062 × 2 - 1) × π
    0.048858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15349395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334915161132812 × 2 - 1) × π
    0.330169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03725863397878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15349395} λ = 0.15349395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03725863397878))-π/2
    2×atan(2.82147171616094)-π/2
    2×1.23018490132472-π/2
    2.46036980264944-1.57079632675     		φ = 0.88957348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15349395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88957348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.968806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34369 KachelY 21949 0.15349395 0.88957348 8.794556 50.968806
    Oben rechts KachelX + 1 34370 KachelY 21949 0.15358983 0.88957348 8.800049 50.968806
    Unten links KachelX 34369 KachelY + 1 21950 0.15349395 0.88951310 8.794556 50.965346
    Unten rechts KachelX + 1 34370 KachelY + 1 21950 0.15358983 0.88951310 8.800049 50.965346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88957348-0.88951310) × R
    6.0380000000082e-05 × 6371000     		dl = 384.680980000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88957348-0.88951310) × R
    6.0380000000082e-05 × 6371000     		dr = 384.680980000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15349395-0.15358983) × cos(0.88957348) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.629743405954303 × 6371000     		do = 384.679691547508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15349395-0.15358983) × cos(0.88951310) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.629790308184758 × 6371000     		du = 384.708341844398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88957348)-sin(0.88951310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629743405954303-0.629790308184758)×R²
    abs(0.15358983-0.15349395)×4.69022304555589e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.69022304555589e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.69022304555589e-05×40589641000000     		ar = 147984.471387937m²