Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34368 / 9792
↖ ↑ ↗
← N 82.094243°
W 85.605469°		 ← 42.01 m → N 82.094243°
W 85.602722°		 →
↑
41.98 m
↓
↑
41.98 m
↓
N 82.093865°
W 85.605469°		 ← 42.01 m →
1 764 m²		 N 82.093865°
W 85.602722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262210845947266 y=0.0747108459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262210845947266 × 217)
    floor (0.262210845947266 × 131072)
    floor (34368.5)     		tx = 34368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0747108459472656 × 217)
    floor (0.0747108459472656 × 131072)
    floor (9792.5)     		ty = 9792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34368 / 9792 ti = "17/34368/9792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34368/9792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34368 ÷ 217
    34368 ÷ 131072     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9792 ÷ 217
    9792 ÷ 131072     		y = 0.07470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07470703125 × 2 - 1) × π
    0.8505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67219453242041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67219453242041))-π/2
    2×atan(14.4716929700433)-π/2
    2×1.50180557885952-π/2
    3.00361115771904-1.57079632675     		φ = 1.43281483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43281483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.094243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34368 KachelY 9792 -1.49409729 1.43281483 -85.605469 82.094243
    Oben rechts KachelX + 1 34369 KachelY 9792 -1.49404935 1.43281483 -85.602722 82.094243
    Unten links KachelX 34368 KachelY + 1 9793 -1.49409729 1.43280824 -85.605469 82.093865
    Unten rechts KachelX + 1 34369 KachelY + 1 9793 -1.49404935 1.43280824 -85.602722 82.093865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43281483-1.43280824) × R
    6.59000000013954e-06 × 6371000     		dl = 41.984890000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43281483-1.43280824) × R
    6.59000000013954e-06 × 6371000     		dr = 41.984890000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49404935) × cos(1.43281483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137544077565399 × 6371000     		do = 42.0095016730017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49404935) × cos(1.43280824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137550604928726 × 6371000     		du = 42.0114952977762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43281483)-sin(1.43280824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137544077565399-0.137550604928726)×R²
    abs(-1.49404935--1.49409729)×6.52736332718007e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.52736332718007e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.52736332718007e-06×40589641000000     		ar = 1763.80615795288m²