Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34368 / 36288
↖ ↑ ↗
← S 18.979026°
E  8.789063°		 ← 577.58 m → S 18.979026°
E  8.794556°		 →
↑
577.59 m
↓
↑
577.59 m
↓
S 18.984220°
E  8.789063°		 ← 577.57 m →
333 604 m²		 S 18.984220°
E  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524421691894531 y=0.553718566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524421691894531 × 216)
    floor (0.524421691894531 × 65536)
    floor (34368.5)     		tx = 34368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553718566894531 × 216)
    floor (0.553718566894531 × 65536)
    floor (36288.5)     		ty = 36288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34368 / 36288 ti = "16/34368/36288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34368/36288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34368 ÷ 216
    34368 ÷ 65536     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36288 ÷ 216
    36288 ÷ 65536     		y = 0.5537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337475773325195))-π/2
    2×atan(0.713569261907555)-π/2
    2×0.619774917549129-π/2
    1.23954983509826-1.57079632675     		φ = -0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34368 KachelY 36288 0.15339808 -0.33124649 8.789063 -18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 34369 KachelY 36288 0.15349395 -0.33124649 8.794556 -18.979026
    Unten links KachelX 34368 KachelY + 1 36289 0.15339808 -0.33133715 8.789063 -18.984220
    Unten rechts KachelX + 1 34369 KachelY + 1 36289 0.15349395 -0.33133715 8.794556 -18.984220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33124649--0.33133715) × R
    9.06600000000202e-05 × 6371000     		dl = 577.594860000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33124649--0.33133715) × R
    9.06600000000202e-05 × 6371000     		dr = 577.594860000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15349395) × cos(-0.33124649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 577.583937300501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15349395) × cos(-0.33133715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945608203774492 × 6371000     		du = 577.565926077115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33124649)-sin(-0.33133715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.945608203774492)×R²
    abs(0.15349395-0.15339808)×2.94885134752843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94885134752843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94885134752843e-05×40589641000000     		ar = 333604.312036852m²