Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34368 / 22328
↖ ↑ ↗
← N 49.639177°
E  8.789063°		 ← 395.55 m → N 49.639177°
E  8.794556°		 →
↑
395.58 m
↓
↑
395.58 m
↓
N 49.635620°
E  8.789063°		 ← 395.57 m →
156 474 m²		 N 49.635620°
E  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524421691894531 y=0.340705871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524421691894531 × 216)
    floor (0.524421691894531 × 65536)
    floor (34368.5)     		tx = 34368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340705871582031 × 216)
    floor (0.340705871582031 × 65536)
    floor (22328.5)     		ty = 22328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34368 / 22328 ti = "16/34368/22328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34368/22328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34368 ÷ 216
    34368 ÷ 65536     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22328 ÷ 216
    22328 ÷ 65536     		y = 0.3406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00092246406677))-π/2
    2×atan(2.72079050267217)-π/2
    2×1.21858170341818-π/2
    2.43716340683636-1.57079632675     		φ = 0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34368 KachelY 22328 0.15339808 0.86636708 8.789063 49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 34369 KachelY 22328 0.15349395 0.86636708 8.794556 49.639177
    Unten links KachelX 34368 KachelY + 1 22329 0.15339808 0.86630499 8.789063 49.635620
    Unten rechts KachelX + 1 34369 KachelY + 1 22329 0.15349395 0.86630499 8.794556 49.635620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86636708-0.86630499) × R
    6.20899999999036e-05 × 6371000     		dl = 395.575389999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86636708-0.86630499) × R
    6.20899999999036e-05 × 6371000     		dr = 395.575389999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15349395) × cos(0.86636708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 395.545568471087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15349395) × cos(0.86630499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64764634194378 × 6371000     		du = 395.57446494449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86636708)-sin(0.86630499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.64764634194378)×R²
    abs(0.15349395-0.15339808)×4.73101702792578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73101702792578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73101702792578e-05×40589641000000     		ar = 156473.807927765m²