Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34368 / 21185
↖ ↑ ↗
← N 76.392666°
W 85.605469°		 ← 71.86 m → N 76.392666°
W 85.602722°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.392019°
W 85.605469°		 ← 71.86 m →
5 164 m²		 N 76.392019°
W 85.602722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262210845947266 y=0.161632537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262210845947266 × 217)
    floor (0.262210845947266 × 131072)
    floor (34368.5)     		tx = 34368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161632537841797 × 217)
    floor (0.161632537841797 × 131072)
    floor (21185.5)     		ty = 21185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34368 / 21185 ti = "17/34368/21185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34368/21185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34368 ÷ 217
    34368 ÷ 131072     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21185 ÷ 217
    21185 ÷ 131072     		y = 0.161628723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161628723144531 × 2 - 1) × π
    0.676742553710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.12604943504911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12604943504911))-π/2
    2×atan(8.38168891242147)-π/2
    2×1.4520499320535-π/2
    2.90409986410699-1.57079632675     		φ = 1.33330354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33330354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.392666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34368 KachelY 21185 -1.49409729 1.33330354 -85.605469 76.392666
    Oben rechts KachelX + 1 34369 KachelY 21185 -1.49404935 1.33330354 -85.602722 76.392666
    Unten links KachelX 34368 KachelY + 1 21186 -1.49409729 1.33329226 -85.605469 76.392019
    Unten rechts KachelX + 1 34369 KachelY + 1 21186 -1.49404935 1.33329226 -85.602722 76.392019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33330354-1.33329226) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dl = 71.8648800003689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33330354-1.33329226) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dr = 71.8648800003689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49404935) × cos(1.33330354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235266530468456 × 6371000     		do = 71.8564541655137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49404935) × cos(1.33329226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235277493833955 × 6371000     		du = 71.8598026595341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33330354)-sin(1.33329226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235266530468456-0.235277493833955)×R²
    abs(-1.49404935--1.49409729)×1.09633654988561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09633654988561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09633654988561e-05×40589641000000     		ar = 5164.07577549647m²