Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34362 / 21730
↖ ↑ ↗
← N 51.720222°
E  8.756104°		 ← 378.38 m → N 51.720222°
E  8.761597°		 →
↑
378.37 m
↓
↑
378.37 m
↓
N 51.716820°
E  8.756104°		 ← 378.41 m →
143 176 m²		 N 51.716820°
E  8.761597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524330139160156 y=0.331581115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524330139160156 × 216)
    floor (0.524330139160156 × 65536)
    floor (34362.5)     		tx = 34362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331581115722656 × 216)
    floor (0.331581115722656 × 65536)
    floor (21730.5)     		ty = 21730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34362 / 21730 ti = "16/34362/21730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34362/21730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34362 ÷ 216
    34362 ÷ 65536     		x = 0.524322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21730 ÷ 216
    21730 ÷ 65536     		y = 0.331573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331573486328125 × 2 - 1) × π
    0.33685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05825499601236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15282284} λ = 0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05825499601236))-π/2
    2×atan(2.88133865238281)-π/2
    2×1.23674225065327-π/2
    2.47348450130654-1.57079632675     		φ = 0.90268817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90268817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.720222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34362 KachelY 21730 0.15282284 0.90268817 8.756104 51.720222
    Oben rechts KachelX + 1 34363 KachelY 21730 0.15291871 0.90268817 8.761597 51.720222
    Unten links KachelX 34362 KachelY + 1 21731 0.15282284 0.90262878 8.756104 51.716820
    Unten rechts KachelX + 1 34363 KachelY + 1 21731 0.15291871 0.90262878 8.761597 51.716820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90268817-0.90262878) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dl = 378.373689999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90268817-0.90262878) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dr = 378.373689999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15282284-0.15291871) × cos(0.90268817) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.61950200895245 × 6371000     		do = 378.384250558688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15282284-0.15291871) × cos(0.90262878) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.619548628717122 × 6371000     		du = 378.41272534079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90268817)-sin(0.90262878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61950200895245-0.619548628717122)×R²
    abs(0.15291871-0.15282284)×4.66197646719069e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.66197646719069e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.66197646719069e-05×40589641000000     		ar = 143176.032218237m²