Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34361 / 36345
↖ ↑ ↗
← S 19.274851°
E  8.750610°		 ← 576.61 m → S 19.274851°
E  8.756104°		 →
↑
576.51 m
↓
↑
576.51 m
↓
S 19.280036°
E  8.750610°		 ← 576.59 m →
332 418 m²		 S 19.280036°
E  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524314880371094 y=0.554588317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524314880371094 × 216)
    floor (0.524314880371094 × 65536)
    floor (34361.5)     		tx = 34361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554588317871094 × 216)
    floor (0.554588317871094 × 65536)
    floor (36345.5)     		ty = 36345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34361 / 36345 ti = "16/34361/36345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34361/36345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34361 ÷ 216
    34361 ÷ 65536     		x = 0.524307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36345 ÷ 216
    36345 ÷ 65536     		y = 0.554580688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524307250976562 × 2 - 1) × π
    0.048614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15272696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554580688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.342940579881882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15272696} λ = 0.15272696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342940579881882))-π/2
    2×atan(0.709680379599363)-π/2
    2×0.617193360253866-π/2
    1.23438672050773-1.57079632675     		φ = -0.33640961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15272696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.750610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33640961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.274851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34361 KachelY 36345 0.15272696 -0.33640961 8.750610 -19.274851
    Oben rechts KachelX + 1 34362 KachelY 36345 0.15282284 -0.33640961 8.756104 -19.274851
    Unten links KachelX 34361 KachelY + 1 36346 0.15272696 -0.33650010 8.750610 -19.280036
    Unten rechts KachelX + 1 34362 KachelY + 1 36346 0.15282284 -0.33650010 8.756104 -19.280036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33640961--0.33650010) × R
    9.04899999999986e-05 × 6371000     		dl = 576.511789999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33640961--0.33650010) × R
    9.04899999999986e-05 × 6371000     		dr = 576.511789999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15272696-0.15282284) × cos(-0.33640961) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.943945935204918 × 6371000     		do = 576.610771559864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15272696-0.15282284) × cos(-0.33650010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.943916060582819 × 6371000     		du = 576.592522602741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33640961)-sin(-0.33650010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943945935204918-0.943916060582819)×R²
    abs(0.15282284-0.15272696)×2.98746220988022e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.98746220988022e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.98746220988022e-05×40589641000000     		ar = 332417.647902556m²