Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34361 / 22323
↖ ↑ ↗
← N 49.656961°
E  8.750610°		 ← 395.44 m → N 49.656961°
E  8.756104°		 →
↑
395.45 m
↓
↑
395.45 m
↓
N 49.653404°
E  8.750610°		 ← 395.47 m →
156 383 m²		 N 49.653404°
E  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524314880371094 y=0.340629577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524314880371094 × 216)
    floor (0.524314880371094 × 65536)
    floor (34361.5)     		tx = 34361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340629577636719 × 216)
    floor (0.340629577636719 × 65536)
    floor (22323.5)     		ty = 22323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34361 / 22323 ti = "16/34361/22323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34361/22323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34361 ÷ 216
    34361 ÷ 65536     		x = 0.524307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22323 ÷ 216
    22323 ÷ 65536     		y = 0.340621948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524307250976562 × 2 - 1) × π
    0.048614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15272696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340621948242188 × 2 - 1) × π
    0.318756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00140183306297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15272696} λ = 0.15272696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00140183306297))-π/2
    2×atan(2.7220950779458)-π/2
    2×1.21873689451951-π/2
    2.43747378903903-1.57079632675     		φ = 0.86667746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15272696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.750610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86667746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.656961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34361 KachelY 22323 0.15272696 0.86667746 8.750610 49.656961
    Oben rechts KachelX + 1 34362 KachelY 22323 0.15282284 0.86667746 8.756104 49.656961
    Unten links KachelX 34361 KachelY + 1 22324 0.15272696 0.86661539 8.750610 49.653404
    Unten rechts KachelX + 1 34362 KachelY + 1 22324 0.15282284 0.86661539 8.756104 49.653404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86667746-0.86661539) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dl = 395.44797000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86667746-0.86661539) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dr = 395.44797000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15272696-0.15282284) × cos(0.86667746) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647362496829466 × 6371000     		do = 395.442339284744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15272696-0.15282284) × cos(0.86661539) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		du = 395.471237083601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86667746)-sin(0.86661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647362496829466-0.647409804235281)×R²
    abs(0.15282284-0.15272696)×4.73074058157108e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73074058157108e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73074058157108e-05×40589641000000     		ar = 156382.584160625m²