Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34360 / 34921
↖ ↑ ↗
← S 11.743680°
E  8.745117°		 ← 598 m → S 11.743680°
E  8.750610°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
S 11.749059°
E  8.745117°		 ← 597.99 m →
357 630 m²		 S 11.749059°
E  8.750610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524299621582031 y=0.532859802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524299621582031 × 216)
    floor (0.524299621582031 × 65536)
    floor (34360.5)     		tx = 34360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532859802246094 × 216)
    floor (0.532859802246094 × 65536)
    floor (34921.5)     		ty = 34921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34360 / 34921 ti = "16/34360/34921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34360/34921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34360 ÷ 216
    34360 ÷ 65536     		x = 0.5242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34921 ÷ 216
    34921 ÷ 65536     		y = 0.532852172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5242919921875 × 2 - 1) × π
    0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532852172851562 × 2 - 1) × π
    -0.065704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.206416289763962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15263109} λ = 0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206416289763962))-π/2
    2×atan(0.81349435641139)-π/2
    2×0.682915216973426-π/2
    1.36583043394685-1.57079632675     		φ = -0.20496589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20496589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.743680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34360 KachelY 34921 0.15263109 -0.20496589 8.745117 -11.743680
    Oben rechts KachelX + 1 34361 KachelY 34921 0.15272696 -0.20496589 8.750610 -11.743680
    Unten links KachelX 34360 KachelY + 1 34922 0.15263109 -0.20505976 8.745117 -11.749059
    Unten rechts KachelX + 1 34361 KachelY + 1 34922 0.15272696 -0.20505976 8.750610 -11.749059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20496589--0.20505976) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dl = 598.045769999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20496589--0.20505976) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dr = 598.045769999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15263109-0.15272696) × cos(-0.20496589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979067927625763 × 6371000     		do = 598.002716193048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15263109-0.15272696) × cos(-0.20505976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979048817597797 × 6371000     		du = 597.991044021682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20496589)-sin(-0.20505976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979067927625763-0.979048817597797)×R²
    abs(0.15272696-0.15263109)×1.91100279662848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91100279662848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91100279662848e-05×40589641000000     		ar = 357629.504884027m²