Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3436 / 792
↖ ↑ ↗
← N 80.928426°
W 29.003906°		 ← 770.44 m → N 80.928426°
W 28.959961°		 →
↑
770.76 m
↓
↑
770.76 m
↓
N 80.921494°
W 29.003906°		 ← 771.03 m →
594 055 m²		 N 80.921494°
W 28.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41949462890625 y=0.09674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41949462890625 × 213)
    floor (0.41949462890625 × 8192)
    floor (3436.5)     		tx = 3436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09674072265625 × 213)
    floor (0.09674072265625 × 8192)
    floor (792.5)     		ty = 792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3436 / 792 ti = "13/3436/792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3436/792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3436 ÷ 213
    3436 ÷ 8192     		x = 0.41943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 792 ÷ 213
    792 ÷ 8192     		y = 0.0966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966796875 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50621366} λ = -0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53413626151465))-π/2
    2×atan(12.6055382560183)-π/2
    2×1.4916319067894-π/2
    2.9832638135788-1.57079632675     		φ = 1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3436 KachelY 792 -0.50621366 1.41246749 -29.003906 80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 3437 KachelY 792 -0.50544667 1.41246749 -28.959961 80.928426
    Unten links KachelX 3436 KachelY + 1 793 -0.50621366 1.41234651 -29.003906 80.921494
    Unten rechts KachelX + 1 3437 KachelY + 1 793 -0.50544667 1.41234651 -28.959961 80.921494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41246749-1.41234651) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dl = 770.7635799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41246749-1.41234651) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dr = 770.7635799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50621366--0.50544667) × cos(1.41246749) × R
    0.000766990000000023 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 770.44444009365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50621366--0.50544667) × cos(1.41234651) × R
    0.000766990000000023 × 0.157787632646672 × 6371000     		du = 771.028208172968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41246749)-sin(1.41234651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.157787632646672)×R²
    abs(-0.50544667--0.50621366)×0.000119465646358924×R²
    0.000766990000000023×0.000119465646358924×6371000²
    0.000766990000000023×0.000119465646358924×40589641000000     		ar = 594055.489149651m²