Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34359 / 22359
↖ ↑ ↗
← N 49.528774°
E  8.739624°		 ← 396.48 m → N 49.528774°
E  8.745117°		 →
↑
396.47 m
↓
↑
396.47 m
↓
N 49.525208°
E  8.739624°		 ← 396.51 m →
157 198 m²		 N 49.525208°
E  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524284362792969 y=0.341178894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524284362792969 × 216)
    floor (0.524284362792969 × 65536)
    floor (34359.5)     		tx = 34359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341178894042969 × 216)
    floor (0.341178894042969 × 65536)
    floor (22359.5)     		ty = 22359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34359 / 22359 ti = "16/34359/22359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34359/22359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34359 ÷ 216
    34359 ÷ 65536     		x = 0.524276733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22359 ÷ 216
    22359 ÷ 65536     		y = 0.341171264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524276733398438 × 2 - 1) × π
    0.048553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15253521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341171264648438 × 2 - 1) × π
    0.317657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997950376290329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15253521} λ = 0.15253521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997950376290329))-π/2
    2×atan(2.71271607936797)-π/2
    2×1.21761825289071-π/2
    2.43523650578142-1.57079632675     		φ = 0.86444018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15253521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.739624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86444018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.528774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34359 KachelY 22359 0.15253521 0.86444018 8.739624 49.528774
    Oben rechts KachelX + 1 34360 KachelY 22359 0.15263109 0.86444018 8.745117 49.528774
    Unten links KachelX 34359 KachelY + 1 22360 0.15253521 0.86437795 8.739624 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 34360 KachelY + 1 22360 0.15263109 0.86437795 8.745117 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86444018-0.86437795) × R
    6.2230000000052e-05 × 6371000     		dl = 396.467330000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86444018-0.86437795) × R
    6.2230000000052e-05 × 6371000     		dr = 396.467330000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15253521-0.15263109) × cos(0.86444018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649066090373417 × 6371000     		do = 396.482981922385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15253521-0.15263109) × cos(0.86437795) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 396.511899079826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86444018)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649066090373417-0.64911342947038)×R²
    abs(0.15263109-0.15253521)×4.73390969628618e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73390969628618e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73390969628618e-05×40589641000000     		ar = 157198.281638382m²