Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34355 / 36337
↖ ↑ ↗
← S 19.233364°
E  8.717651°		 ← 576.70 m → S 19.233364°
E  8.723144°		 →
↑
576.70 m
↓
↑
576.70 m
↓
S 19.238550°
E  8.717651°		 ← 576.68 m →
332 577 m²		 S 19.238550°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524223327636719 y=0.554466247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524223327636719 × 216)
    floor (0.524223327636719 × 65536)
    floor (34355.5)     		tx = 34355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554466247558594 × 216)
    floor (0.554466247558594 × 65536)
    floor (36337.5)     		ty = 36337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34355 / 36337 ti = "16/34355/36337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34355/36337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34355 ÷ 216
    34355 ÷ 65536     		x = 0.524215698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36337 ÷ 216
    36337 ÷ 65536     		y = 0.554458618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524215698242188 × 2 - 1) × π
    0.048431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15215172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554458618164062 × 2 - 1) × π
    -0.108917236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.342173589487961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15215172} λ = 0.15215172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342173589487961))-π/2
    2×atan(0.71022490643)-π/2
    2×0.617555404784981-π/2
    1.23511080956996-1.57079632675     		φ = -0.33568552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15215172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.717651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33568552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.233364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34355 KachelY 36337 0.15215172 -0.33568552 8.717651 -19.233364
    Oben rechts KachelX + 1 34356 KachelY 36337 0.15224759 -0.33568552 8.723144 -19.233364
    Unten links KachelX 34355 KachelY + 1 36338 0.15215172 -0.33577604 8.717651 -19.238550
    Unten rechts KachelX + 1 34356 KachelY + 1 36338 0.15224759 -0.33577604 8.723144 -19.238550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33568552--0.33577604) × R
    9.05199999999828e-05 × 6371000     		dl = 576.702919999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33568552--0.33577604) × R
    9.05199999999828e-05 × 6371000     		dr = 576.702919999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15215172-0.15224759) × cos(-0.33568552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944184709901982 × 6371000     		do = 576.696473429116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15215172-0.15224759) × cos(-0.33577604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944154887251751 × 6371000     		du = 576.678258119086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33568552)-sin(-0.33577604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944184709901982-0.944154887251751)×R²
    abs(0.15224759-0.15215172)×2.98226502307708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98226502307708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98226502307708e-05×40589641000000     		ar = 332577.287996142m²