Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34355 / 24163
↖ ↑ ↗
← N 42.670320°
E  8.717651°		 ← 449.09 m → N 42.670320°
E  8.723144°		 →
↑
449.09 m
↓
↑
449.09 m
↓
N 42.666281°
E  8.717651°		 ← 449.12 m →
201 690 m²		 N 42.666281°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524223327636719 y=0.368705749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524223327636719 × 216)
    floor (0.524223327636719 × 65536)
    floor (34355.5)     		tx = 34355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368705749511719 × 216)
    floor (0.368705749511719 × 65536)
    floor (24163.5)     		ty = 24163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34355 / 24163 ti = "16/34355/24163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34355/24163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34355 ÷ 216
    34355 ÷ 65536     		x = 0.524215698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24163 ÷ 216
    24163 ÷ 65536     		y = 0.368698120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524215698242188 × 2 - 1) × π
    0.048431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15215172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368698120117188 × 2 - 1) × π
    0.262603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.824994042461166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15215172} λ = 0.15215172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824994042461166))-π/2
    2×atan(2.28186717097653)-π/2
    2×1.15776694984343-π/2
    2.31553389968685-1.57079632675     		φ = 0.74473757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15215172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.717651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74473757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.670320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34355 KachelY 24163 0.15215172 0.74473757 8.717651 42.670320
    Oben rechts KachelX + 1 34356 KachelY 24163 0.15224759 0.74473757 8.723144 42.670320
    Unten links KachelX 34355 KachelY + 1 24164 0.15215172 0.74466708 8.717651 42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 34356 KachelY + 1 24164 0.15224759 0.74466708 8.723144 42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74473757-0.74466708) × R
    7.04899999999231e-05 × 6371000     		dl = 449.09178999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74473757-0.74466708) × R
    7.04899999999231e-05 × 6371000     		dr = 449.09178999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15215172-0.15224759) × cos(0.74473757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735265797208947 × 6371000     		do = 449.091356634515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15215172-0.15224759) × cos(0.74466708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 449.120536901955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74473757)-sin(0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735265797208947-0.735313572015308)×R²
    abs(0.15224759-0.15215172)×4.77748063610894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77748063610894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77748063610894e-05×40589641000000     		ar = 201689.793616899m²