Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34354 / 36410
↖ ↑ ↗
← S 19.611544°
E  8.712158°		 ← 575.36 m → S 19.611544°
E  8.717651°		 →
↑
575.37 m
↓
↑
575.37 m
↓
S 19.616718°
E  8.712158°		 ← 575.34 m →
331 034 m²		 S 19.616718°
E  8.717651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524208068847656 y=0.555580139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524208068847656 × 216)
    floor (0.524208068847656 × 65536)
    floor (34354.5)     		tx = 34354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555580139160156 × 216)
    floor (0.555580139160156 × 65536)
    floor (36410.5)     		ty = 36410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34354 / 36410 ti = "16/34354/36410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34354/36410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34354 ÷ 216
    34354 ÷ 65536     		x = 0.524200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36410 ÷ 216
    36410 ÷ 65536     		y = 0.555572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524200439453125 × 2 - 1) × π
    0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.349172376832489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15205585} λ = 0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.349172376832489))-π/2
    2×atan(0.705271547315842)-π/2
    2×0.614255160632317-π/2
    1.22851032126463-1.57079632675     		φ = -0.34228601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34228601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.611544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34354 KachelY 36410 0.15205585 -0.34228601 8.712158 -19.611544
    Oben rechts KachelX + 1 34355 KachelY 36410 0.15215172 -0.34228601 8.717651 -19.611544
    Unten links KachelX 34354 KachelY + 1 36411 0.15205585 -0.34237632 8.712158 -19.616718
    Unten rechts KachelX + 1 34355 KachelY + 1 36411 0.15215172 -0.34237632 8.717651 -19.616718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34228601--0.34237632) × R
    9.03100000000379e-05 × 6371000     		dl = 575.365010000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34228601--0.34237632) × R
    9.03100000000379e-05 × 6371000     		dr = 575.365010000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15205585-0.15215172) × cos(-0.34228601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941989848022573 × 6371000     		do = 575.355878636334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15205585-0.15215172) × cos(-0.34237632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941959532409512 × 6371000     		du = 575.337362230636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34228601)-sin(-0.34237632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941989848022573-0.941959532409512)×R²
    abs(0.15215172-0.15205585)×3.03156130611049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03156130611049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03156130611049e-05×40589641000000     		ar = 331034.314244487m²