Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34353 / 36401
↖ ↑ ↗
← S 19.564966°
E  8.706665°		 ← 575.58 m → S 19.564966°
E  8.712158°		 →
↑
575.56 m
↓
↑
575.56 m
↓
S 19.570142°
E  8.706665°		 ← 575.56 m →
331 275 m²		 S 19.570142°
E  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524192810058594 y=0.555442810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524192810058594 × 216)
    floor (0.524192810058594 × 65536)
    floor (34353.5)     		tx = 34353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555442810058594 × 216)
    floor (0.555442810058594 × 65536)
    floor (36401.5)     		ty = 36401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34353 / 36401 ti = "16/34353/36401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34353/36401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34353 ÷ 216
    34353 ÷ 65536     		x = 0.524185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36401 ÷ 216
    36401 ÷ 65536     		y = 0.555435180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524185180664062 × 2 - 1) × π
    0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.110870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.348309512639328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15195997} λ = 0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348309512639328))-π/2
    2×atan(0.705880363505548)-π/2
    2×0.614661624098989-π/2
    1.22932324819798-1.57079632675     		φ = -0.34147308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34147308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.564966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34353 KachelY 36401 0.15195997 -0.34147308 8.706665 -19.564966
    Oben rechts KachelX + 1 34354 KachelY 36401 0.15205585 -0.34147308 8.712158 -19.564966
    Unten links KachelX 34353 KachelY + 1 36402 0.15195997 -0.34156342 8.706665 -19.570142
    Unten rechts KachelX + 1 34354 KachelY + 1 36402 0.15205585 -0.34156342 8.712158 -19.570142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34147308--0.34156342) × R
    9.03400000000221e-05 × 6371000     		dl = 575.556140000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34147308--0.34156342) × R
    9.03400000000221e-05 × 6371000     		dr = 575.556140000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15195997-0.15205585) × cos(-0.34147308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942262389668341 × 6371000     		do = 575.582375277199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15195997-0.15205585) × cos(-0.34156342) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942232133172211 × 6371000     		du = 575.563893051758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34147308)-sin(-0.34156342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942262389668341-0.942232133172211)×R²
    abs(0.15205585-0.15195997)×3.02564961301988e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.02564961301988e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.02564961301988e-05×40589641000000     		ar = 331274.651612661m²