Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34351 / 21874
↖ ↑ ↗
← N 51.227528°
E  8.695678°		 ← 382.53 m → N 51.227528°
E  8.701172°		 →
↑
382.51 m
↓
↑
382.51 m
↓
N 51.224088°
E  8.695678°		 ← 382.56 m →
146 330 m²		 N 51.224088°
E  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524162292480469 y=0.333778381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524162292480469 × 216)
    floor (0.524162292480469 × 65536)
    floor (34351.5)     		tx = 34351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333778381347656 × 216)
    floor (0.333778381347656 × 65536)
    floor (21874.5)     		ty = 21874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34351 / 21874 ti = "16/34351/21874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34351/21874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34351 ÷ 216
    34351 ÷ 65536     		x = 0.524154663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21874 ÷ 216
    21874 ÷ 65536     		y = 0.333770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524154663085938 × 2 - 1) × π
    0.048309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15176822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333770751953125 × 2 - 1) × π
    0.33245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04444916892178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15176822} λ = 0.15176822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04444916892178))-π/2
    2×atan(2.8418327226627)-π/2
    2×1.23244267819017-π/2
    2.46488535638035-1.57079632675     		φ = 0.89408903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15176822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.695678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89408903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.227528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34351 KachelY 21874 0.15176822 0.89408903 8.695678 51.227528
    Oben rechts KachelX + 1 34352 KachelY 21874 0.15186410 0.89408903 8.701172 51.227528
    Unten links KachelX 34351 KachelY + 1 21875 0.15176822 0.89402899 8.695678 51.224088
    Unten rechts KachelX + 1 34352 KachelY + 1 21875 0.15186410 0.89402899 8.701172 51.224088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89408903-0.89402899) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dl = 382.514839999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89408903-0.89402899) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dr = 382.514839999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15176822-0.15186410) × cos(0.89408903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626229303810978 × 6371000     		do = 382.533097052276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15176822-0.15186410) × cos(0.89402899) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626276112203509 × 6371000     		du = 382.56169002813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89408903)-sin(0.89402899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626229303810978-0.626276112203509)×R²
    abs(0.15186410-0.15176822)×4.6808392531017e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6808392531017e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6808392531017e-05×40589641000000     		ar = 146330.055076287m²