Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34346 / 21865
↖ ↑ ↗
← N 51.258477°
E  8.668213°		 ← 382.24 m → N 51.258477°
E  8.673706°		 →
↑
382.26 m
↓
↑
382.26 m
↓
N 51.255040°
E  8.668213°		 ← 382.26 m →
146 119 m²		 N 51.255040°
E  8.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524085998535156 y=0.333641052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524085998535156 × 216)
    floor (0.524085998535156 × 65536)
    floor (34346.5)     		tx = 34346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333641052246094 × 216)
    floor (0.333641052246094 × 65536)
    floor (21865.5)     		ty = 21865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34346 / 21865 ti = "16/34346/21865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34346/21865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34346 ÷ 216
    34346 ÷ 65536     		x = 0.524078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21865 ÷ 216
    21865 ÷ 65536     		y = 0.333633422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333633422851562 × 2 - 1) × π
    0.332733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04531203311494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15128886} λ = 0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04531203311494))-π/2
    2×atan(2.8442858965878)-π/2
    2×1.23271276274249-π/2
    2.46542552548498-1.57079632675     		φ = 0.89462920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89462920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.258477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34346 KachelY 21865 0.15128886 0.89462920 8.668213 51.258477
    Oben rechts KachelX + 1 34347 KachelY 21865 0.15138473 0.89462920 8.673706 51.258477
    Unten links KachelX 34346 KachelY + 1 21866 0.15128886 0.89456920 8.668213 51.255040
    Unten rechts KachelX + 1 34347 KachelY + 1 21866 0.15138473 0.89456920 8.673706 51.255040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89462920-0.89456920) × R
    6.000000000006e-05 × 6371000     		dl = 382.260000000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89462920-0.89456920) × R
    6.000000000006e-05 × 6371000     		dr = 382.260000000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15128886-0.15138473) × cos(0.89462920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625808074909648 × 6371000     		do = 382.235918522049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15128886-0.15138473) × cos(0.89456920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625854872408275 × 6371000     		du = 382.264501861877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89462920)-sin(0.89456920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625808074909648-0.625854872408275)×R²
    abs(0.15138473-0.15128886)×4.67974986271269e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67974986271269e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67974986271269e-05×40589641000000     		ar = 146118.965392017m²