Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34343 / 21661
↖ ↑ ↗
← N 51.954422°
E  8.651733°		 ← 376.46 m → N 51.954422°
E  8.657227°		 →
↑
376.46 m
↓
↑
376.46 m
↓
N 51.951037°
E  8.651733°		 ← 376.49 m →
141 729 m²		 N 51.951037°
E  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524040222167969 y=0.330528259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524040222167969 × 216)
    floor (0.524040222167969 × 65536)
    floor (34343.5)     		tx = 34343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330528259277344 × 216)
    floor (0.330528259277344 × 65536)
    floor (21661.5)     		ty = 21661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34343 / 21661 ti = "16/34343/21661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34343/21661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34343 ÷ 216
    34343 ÷ 65536     		x = 0.524032592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21661 ÷ 216
    21661 ÷ 65536     		y = 0.330520629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524032592773438 × 2 - 1) × π
    0.048065185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15100123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330520629882812 × 2 - 1) × π
    0.338958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06487028815993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15100123} λ = 0.15100123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06487028815993))-π/2
    2×atan(2.90046273529974)-π/2
    2×1.23878602708617-π/2
    2.47757205417235-1.57079632675     		φ = 0.90677573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15100123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.651733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90677573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.954422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34343 KachelY 21661 0.15100123 0.90677573 8.651733 51.954422
    Oben rechts KachelX + 1 34344 KachelY 21661 0.15109711 0.90677573 8.657227 51.954422
    Unten links KachelX 34343 KachelY + 1 21662 0.15100123 0.90671664 8.651733 51.951037
    Unten rechts KachelX + 1 34344 KachelY + 1 21662 0.15109711 0.90671664 8.657227 51.951037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90677573-0.90671664) × R
    5.90900000000394e-05 × 6371000     		dl = 376.462390000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90677573-0.90671664) × R
    5.90900000000394e-05 × 6371000     		dr = 376.462390000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15100123-0.15109711) × cos(0.90677573) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.616288128078808 × 6371000     		do = 376.460515143449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15100123-0.15109711) × cos(0.90671664) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.616334661604405 × 6371000     		du = 376.48894021643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90677573)-sin(0.90671664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616288128078808-0.616334661604405)×R²
    abs(0.15109711-0.15100123)×4.65335255976917e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.65335255976917e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.65335255976917e-05×40589641000000     		ar = 141728.575798337m²