Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34340 / 21995
↖ ↑ ↗
← N 50.809406°
E  8.635254°		 ← 386 m → N 50.809406°
E  8.640747°		 →
↑
386.02 m
↓
↑
386.02 m
↓
N 50.805935°
E  8.635254°		 ← 386.03 m →
149 008 m²		 N 50.805935°
E  8.640747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523994445800781 y=0.335624694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523994445800781 × 216)
    floor (0.523994445800781 × 65536)
    floor (34340.5)     		tx = 34340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335624694824219 × 216)
    floor (0.335624694824219 × 65536)
    floor (21995.5)     		ty = 21995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34340 / 21995 ti = "16/34340/21995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34340/21995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34340 ÷ 216
    34340 ÷ 65536     		x = 0.52398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21995 ÷ 216
    21995 ÷ 65536     		y = 0.335617065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52398681640625 × 2 - 1) × π
    0.0479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15071361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335617065429688 × 2 - 1) × π
    0.328765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03284843921373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15071361} λ = 0.15071361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03284843921373))-π/2
    2×atan(2.80905587463207)-π/2
    2×1.22879387620762-π/2
    2.45758775241524-1.57079632675     		φ = 0.88679143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15071361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88679143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.809406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34340 KachelY 21995 0.15071361 0.88679143 8.635254 50.809406
    Oben rechts KachelX + 1 34341 KachelY 21995 0.15080949 0.88679143 8.640747 50.809406
    Unten links KachelX 34340 KachelY + 1 21996 0.15071361 0.88673084 8.635254 50.805935
    Unten rechts KachelX + 1 34341 KachelY + 1 21996 0.15080949 0.88673084 8.640747 50.805935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88679143-0.88673084) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dl = 386.018890000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88679143-0.88673084) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dr = 386.018890000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15071361-0.15080949) × cos(0.88679143) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63190207152172 × 6371000     		do = 385.998315604079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15071361-0.15080949) × cos(0.88673084) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631949030534559 × 6371000     		du = 386.027000586571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88679143)-sin(0.88673084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63190207152172-0.631949030534559)×R²
    abs(0.15080949-0.15071361)×4.69590128392428e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69590128392428e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69590128392428e-05×40589641000000     		ar = 149008.177849625m²