Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3434 / 1185
↖ ↑ ↗
← N 77.758268°
W 29.091797°		 ← 1 036.12 m → N 77.758268°
W 29.047852°		 →
↑
1 036.50 m
↓
↑
1 036.50 m
↓
N 77.748946°
W 29.091797°		 ← 1 036.89 m →
1 074 334 m²		 N 77.748946°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41925048828125 y=0.14471435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41925048828125 × 213)
    floor (0.41925048828125 × 8192)
    floor (3434.5)     		tx = 3434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14471435546875 × 213)
    floor (0.14471435546875 × 8192)
    floor (1185.5)     		ty = 1185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3434 / 1185 ti = "13/3434/1185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3434/1185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3434 ÷ 213
    3434 ÷ 8192     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1185 ÷ 213
    1185 ÷ 8192     		y = 0.1446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1446533203125 × 2 - 1) × π
    0.710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23270903670374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23270903670374))-π/2
    2×atan(9.32509391416912)-π/2
    2×1.46396706076709-π/2
    2.92793412153418-1.57079632675     		φ = 1.35713779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35713779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.758268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3434 KachelY 1185 -0.50774764 1.35713779 -29.091797 77.758268
    Oben rechts KachelX + 1 3435 KachelY 1185 -0.50698065 1.35713779 -29.047852 77.758268
    Unten links KachelX 3434 KachelY + 1 1186 -0.50774764 1.35697510 -29.091797 77.748946
    Unten rechts KachelX + 1 3435 KachelY + 1 1186 -0.50698065 1.35697510 -29.047852 77.748946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35713779-1.35697510) × R
    0.000162689999999799 × 6371000     		dl = 1036.49798999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35713779-1.35697510) × R
    0.000162689999999799 × 6371000     		dr = 1036.49798999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50698065) × cos(1.35713779) × R
    0.000766989999999912 × 0.212036658846939 × 6371000     		do = 1036.11571068947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50698065) × cos(1.35697510) × R
    0.000766989999999912 × 0.212195646748196 × 6371000     		du = 1036.89260400215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35713779)-sin(1.35697510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212036658846939-0.212195646748196)×R²
    abs(-0.50698065--0.50774764)×0.00015898790125693×R²
    0.000766989999999912×0.00015898790125693×6371000²
    0.000766989999999912×0.00015898790125693×40589641000000     		ar = 1074334.47808274m²